综合法证明不等式详解_证明不等式综合法

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综合法与不等式的证明

河南省临颍县南街村高中 赵先举 462600

综合法证明不等式是证明不等式最常用的方法之一,它主要使用不等式的基本性质及不等式的变形证明不等式的一种方法.其证明过程是:由已知条件结合不等式的性质进行变形逐步推出要证不等式即AA1A2B也就是“由因导果,顺藤摸瓜”的思路.其解决的主要题型可以分为以下几种,下面结合具体例子加以说明.一、运用不等式的基本性质证明不等式

不等式的基本性质反映了不等式在变形过程中的规律,它可以把不等式进行变形或者化简,对于证明一些简单的不等式也有很重要的作用.例1.已知cab0,求证:a

cab

cb.分析:要证不等式是一个分式不等式可以使用不等式的基本性质先证逐步变形即可.证明:因为cab0,所以,0cacb,故

a

cab

cb1ca1cb,而ab0,所以,.即原不等式得证.点评:这类不等式的证明实际上就是根据不等式的性质把基本不等式进行变形.这类问题常用到整式与倒数的关系:ab且ab0

1a1

b.这是把整式向分式转化的基础.二、利用“均值不等式”及变形证明不等式

我们知道,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这一结论通常叫做“均值不等式”,它有很多变形,在很多不等式的证明中都可以得到应用.222例2.设a,b是正实数,x,yR且ab1.求证:axby(axby).分析:题设条件中的ab1可以作为一个因式乘到不等式的左边,再展开进行变形,进而利用不等式的性质即可证明.证明:axby(axby)(ab)axab(xy)by

因为xy2xy,且a,b是正实数,所以,axab(xy)byax2abxyby=(axby).故原不等式得证.点评:其实,很多时候用的不一定是“均值不等式”,而是它的变形,这些变形常用的有:ab

2ab,行合理的选择.例3.已知a,b,c(0.),求证:a***22222222222ab2(ab)(1a1b)4等.在实际问题中要对这些公式进

bcb

3cac3

ababc.分析:这里要证的不等式的左边是分式的形式,而右边是整式,直接使用均值不等式(或变形)又不具备条件,于是考虑先把不等式进行变形.因为a,b,c(0.),所以,原不等式可以变形为a4b4c4a2bcab2cabc2.a4b4

244证明:因为bc2

44ca2aba222bc,把三式相加,两边再除以c222可

a2b2b2c22ab2c444222222得:abcabbcac.又b2c2c2a22abc2,三式相加,再除

22222caab2abc

以2可得a2b2b2c2a2c2a2bcab2cabc2.于是可得a4b4c4a2bc

a32abc,两a边bc同时除以abc即可得:

bcb3

cac3

ababc.点评:本题其实是反复使用a2b22ab进行放缩.这类问题的特点是,两边所有字母的次数加在一起后次数相同,例如本题是4次,它们都可以看成a2b2c2a2b2b2c2c2a2的变形.三、利用均值不等式证明不等式的小技巧

不等式问题中判断取等号的条件往往是解决问题的关键.而有一类不等式问题,我们把它的条件和结论中的字母随意进行调换位置后整个问题不发生任何变化.例如,已知

aR,bR,且ab1,求证:ab1

4.若把问题中的a,b进行调换后,条件和结论仍

然不变.我们把满足这种条件的问题叫做“轮换对称问题”.掌握这类不等式问题的特点,可以更加灵活地寻找证明不等式的方法.例4.已知a0,b0,c0且abc1,求证

.分析:这道题可能会使我们有点无从下手的感觉.但是,它仍然属于“轮换对称问题”,那么我们可以猜测,当abc

证明

6(abc)12

213时,不等式取等号.此时,6a132.6b1326c132 9.即9,故.点评:本题根据“轮换对称问题”的特点,把数值具体化,巧妙地配上口.实际上,很多“轮换对称问题”给出的不等式都是在所给字母相等时成立等号,利用这一性质还可以迅速地求解一些代数式的最值,特别是对一些选择题非常有效.总之,均值不等式是证明不等式的一种重要方法,在使用时既要合理使用不等式中的一些结论,还要不断总结一些小技巧,使得证明过程更加简洁.

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