空间几何证明_空间几何证明题

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立体几何中平行、垂直关系证明的思路

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面性质

判定线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a b 

线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P O a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a O α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a l β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b 

定理：

1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

b.经过两相交直线，有且只有一个平面；

c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

作用：a.判定两个不重合平面是否相交；

b.判断点在直线上。

4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6.（直线与平面平行的判定定理）

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。条件：a.一条直线在平面外；

b.一条直线在平面内；

c..这两条直线互相平行。7.（平面与平面平行的判定定理）

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。条件：a.两条相交直线；

b.相交直线在一个平面内；

c.对应平行。

8.（直线与平面平行的性质定理）

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

条件：a.一条直线与一个平面平行；

b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；

c.交线与直线平行。9.（平面与平面平行的性质定理）

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3

b.平面1与3相交，平面2与3相交

c.交线平行

点、线、面的相关证明

一.多点共线和多线共点问题证明

方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。

1.如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：

a.E，C，D1，F四点共面；

b.CE，D1F，DA三线共点。

二．计算异面直线所成角度

方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.2.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.3.如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.4.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.

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