不等式证明 之 放缩法_放缩法证明不等式

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不等式证明 之 放缩法

放缩法的定义

所谓放缩法，即要证明不等式A

（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。

典例分析：

例

1、设x>y>z，nN，且

22例

2、已知：x>0，y>0，z>0，求证：xxyy*11n恒成立，求n的最大值.xyyzxzy2yzz2xyz.例

3、求证：2n11）1

例

4、求证：1

变式：求证：1

1213...1n2n，nN*.111...2，nN*.22223n1117...，nN*.222423n

例

5、已知：an2

求证：

234...n(n1)，(nN)，n(n1)n(n2).an2

2例

6、{bn}满足：b11,bn1bn(n2)bn

3（1）用数学归纳法证明：bnn

（2）Tn

解：(1)略

(2)bn13bn(bnn)2(bn3)

又bnn

*bn132(bn3)，nN 211111...，求证：Tn 3b13b23b33bn

2迭乘得：bn32

n1(b13)2n1 11n1,nN* bn32

Tn1111111 ...234n1n12222222

2点评：把握“bn3”这一特征对“bn1bn(n2)bn3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

例

7、设a，bR，且abc，求证：

abc.1a1b1c

巩固练习：

1、设a，b，c，dR，S

求证：1

3、已知a，b，cR且abc，求证：abc(n3且nN).222nnn*abcd，abdabcbcdacd11111...21 nn1n2n3n

[放缩法的常见技巧]

（1）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。

131（2）舍掉（或加进）一些项。如aa2422

2（3）在分式中放大或缩小分子或分母。如111(k∈N，k>1)，2k(k1)kk(k1)

kk1

1k2

kk1(k∈N，k>1)。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

（6）构造等比数列进行放缩。

（7）构造裂项条件进行放缩。

（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。