用均值不等式求最值的类型及方法_均值不等式求最值方法

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用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式 a2b

2(a、bR)，①ab2abab当且仅当a = b时，“=”号成立； 22

2ab②ab2abab当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、bR)，2

2a3b3c

3③abc3abcabc当且仅当a = b = c时,“=”号(a、b、cR)，333

3成立； abc④abc3abcabc(a、b、cR),当且仅当a = b = c时,“=”号3

3成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：

2abab2a2b2。2

b

二、函数f(x)ax(a、b0)图象及性质 x

ba、b0图象：(1)函数f(x)axx

ba、b0性质：(2)函数f(x)axx

①值域：(,2ab][2ab,)；

②单调递增区间：(,，)；单调递减区间：(0,0).，[

三、用均值不等式求最值的常见类型

类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

1(x1)的最小值。22(x1)

11x1x11(x1)(x1)1(x1)1(x1)解析：yx2222(x1)2(x1)222(x

1)例

1、求函数yx

 35x111(x1)即x2时，当且仅当“=”号

122222(x1)-1-

成立，故此函数最小值是

5。

2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例

2、求下列函数的最大值：



3)②ysin2xcosx(0x)

233

32x0，∴yx2(32x)(0x)xx(32x)解析：①0x,∴22

xx(32x)3[]1，当且仅当x32x即x1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

①yx(32x)(0x

②0x

,∴sinx0,cosx0，则y0，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。

1sin2xsin2x2cos2x341222),ysinxcosxsinxsinxcosx(sinxsinx2cosx)（22327

当且仅当sinx2cosx(0

x

)tanx

xarc时，不等式中的“=”号

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

(0x1)的最小值。x

b

解法一：（单调性法）由函数f(x)ax(a、b0)图象及性质知，当x(0,1]时，函数

x

f(x)x是减函数。

x

4证明：任取x1,x2(0,1]且0x1x21，则f(x1)f(x)(xx)()21

2x1x2

xxxx4xx4，∵0x1x21，∴x1x20,12(x1x2)421(x1x2)120，x1x2x1x2x1x2

则f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，即f(x)x在(0,1]上是减函数。

x

故当x1时，f(x)x在(0,1]上有最小值5。

x

24，易知当0x1时，解法二：（配方法）因0x1，则有f(x)

xx例

3、若x、yR，求f(x)x



0且单调递减，则f(x)24在(0,1]上也是减函数，即f(x)x在x

4(0,1]上是减函数，当x1时，f(x)x在(0,1]上有最小值5。

x444

解法三：（导数法）由f(x)x得f(x)12，当x(0,1]时，f(x)120，xxx

则函数f(x)x在(0,1]上是减函数。故当x1时，f(x)x在(0,1]上有最小值5。

xx

134

3解法四：（拆分法）f(x)x(0x1)(x)5，当且仅当x1时

xxx

1“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

类型Ⅳ：条件最值问题。例

4、已知正数x、y满足

11，求x2y的最小值。xy

8x

1y

x16y1018,yx解法一：（利用均值不等式）x2y()(x2y)10

81

xy1

当且仅当即x12,y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

x16yxy

解法二：（消元法）由则x2yx

x81x

y得，由y00又x0x81

x8x8xy

2x2(x8)161616

xx2(x8)101018。x8x8x

8x816

当且仅当x8即x12,此时y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

x8

88sin2xxxsin2x 解法三：（三角换元法）令则有1

1cos2xy

cos2xy

8222222

2则x2y28cscx2secx8(1cotx)2(1tanx)108cotx

2tanx 2

sinxcosx

1018，易求得x12,此时y3时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

81x2y()(x2y)8。原因就是等号成立的条件不一致。

xy

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例

5、已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。

解法一：由x0,y0，则x即yxy

3xy3xy

20

1(舍)3，当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

xy

2)(xy)24(xy)120xy2(舍)或xy6，当且2

仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是[6,)。

x

3解法二：由x0,y0，xyxy3(x1)yx3知x1，则y，x

1x3

0x1，则： 由y0

x1

x3x23x(x1)25(x1)4

4xyx(x1)559，当

x1x1x

1x14

(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。

且仅当x1

x1

又xy3xy（xyx

且仅当x1

x3x1444当xx1(x1)226，x1x1x1x14

(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,)。x1

评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

练习：

1、试填写两个正整数，满足条件

41＝1，且使这两个正整数的和最小。[][]

2、试分别求：y

x

1(x1)；

y

x2x13、求y2log2(x2)log2(x3)1最小值。

总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的。

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