线性代数12章练习题_线性代数第二章练习题

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第一章

行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是（）.(A)24315

(B)14325

(C)41523

(D)24351 2．如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k, 则排列jnj2j1的逆序数是（）.n!n(n1)k

(A)k

(B)nk

(C)k

(D)223.n阶行列式的展开式中含a11a22的项共有（）项.(A)0

(B)n

2(C)(n2)!

(D)(n1)!

004．01005.***00010（）.0000（）.1012中x3项的系数是（）.312a11a13 a23a33a112a12a212a22（）.a312a32(A)0

(B)(C)1

(D)2(A)0

(B)1

(C)1

(D)2 2xx11x16．在函数f(x)32x000a11a12 a22a32a13a23a33(A)0

(B)1

(C)1

(D)2 7.若Da21a31a11a21a12a221，则D12a2122a31ka22ka21

(A)4

(B)(C)2

(D)2 8．若a，则

a12a11（）.(A)ka

(B)ka

(C)k2a

(D)k2a

9． 已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为2,5,1,x, 则x（）.(A)0

(B)(C)3

(D)2 8743623110.若D，则D中第一行元的代数余子式的和为（）.11114375(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

30411111.若D01053201，则D中第四行元的余子式的和为（）.02(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

x1x2kx3012.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1kx2x30有非零解.kxxx0231（）

(A)1

(B)2

(C)3

(D)0

二、填空题

1.2n阶排列24(2n)13(2n1)的逆序数是2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是

...4．若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0, 则这个行列式的值等于.105.行列式***11000.6．行列式0n020000.n10a11a1(n1)a21a2(n1)7．行列式an10a11a12 a22a32a13a1n00.a11a133a12 3a12a233a22a333a323a223a328．如果Da21a31a23M，则D1a21a33a31.9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

.111x111x1110．行列式1x111x1111111111．n阶行列式

11则该行列式的值为

..111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，1513．设行列式D482637372648，A4j(j1,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式，15.则4A413A422A43A44ac14．已知Dbabbaccaab，D中第四列元的代数余子式的和为ccbd23513462.1315．设行列式D11446，A4j为a4j(j1,2,3,4)的代数余子式，则72.A41A42，A43A441116．已知行列式D13205032n100，D中第一行元的代数余子式的和为

100n.kx12x2x317．齐次线性方程组02x1kx0仅有零解的充要条件是.2x1x2x30x12x2x18．若齐次线性方程组302x25x30有非零解，则k=.3x12x2kx30

三、计算题

abcda2xy1.b2c2d2xya3b3c3d3;

2．yxyx；bcdacdabdabcxyxy

xa1a2an201x1a1xa2an23．解方程101xa2xan2x1100；

4．a11x10a1a2a3xa1a2a3an1a01111a1115.11a21(aj1,j0,1,,n)；

111an

；

11111111131b116.112b1

111(n1)b

1111b1a1a1a17.b1b2a2a2；

b1b2b3an

1x21x1x2x1xn9.xx2211x2x2xn;

xnx1xnx21x2n

1aa00011aa0011．D011aa0.0011aa00011a

四、证明题

a21a2a1a1b21b111．设abcd1，证明：

b2bc2110.c2cc1d211d2dd1

a1b1xa1xb1c1a1b1c12．a2b2xa2xb2c2(1x2)a2b2c2.a3b3xa3xb3c3a3b3c3xa1a2ana1xa2an8．a1a2xan;a1a2a3x210001210010.01200000210001

211ab3．2ab2a4b4 1cc2c41d(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd).2dd41a14．1a22a21an2ana12a1n2a1naii1n1ijn(ajai).n2n2a2anna2nan

11bb31c0的充要条件是abc0.c35．设a,b,c两两不等，证明aa

3参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n;2.“”;3.a14a22a31a43;4.0;5.0;6.(1)n1n!;7.(1)n(n1)2a1na2(n1)an1;8.3M;9.160;10.x4;11.(n)n1;12.2;

n113.0;14.0;15.12,9;16.n!(1);17.k2,3;18.k7

k1k三．计算题

1．(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)； 2.2(x3y3)； 3.x2,0,1;

4.nn(xak1n1k)

5.(ak1)(1k01);

6.(2b)(1b)((n2)b);k0ak17.(1)n(bk1nkak);

8.(xak)(xak);

k1k1nn9.1xk;

10.n1;k1n11.(1a)(1a2a4).四.证明题(略)

第二章

矩阵

一、单项选择题

1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)A2A2(b)

A2B2(AB)(AB)(c)

(AB)AA2AB

(d)(AB)TATBT 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。

(a)AB =BA(b)A0(c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆 3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA()。(a)kA

(b)

kA

(c)knA

(d)

kA

n4.设A为n阶方阵，且A0，则()。

(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是()。(a)(AB)1A1B1(b)(AB)TAB

(c)(A1B)TA1B(d)(AB)1A1B1 6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则()。(a)(a)A*A1(b)A*A(c)A*An1(d)A*An1

7.设A为3阶方阵,行列式A1,A*为A的伴随矩阵,则行列式(2A)12A*()。

(a)278278(b)(c)(d)8278278.设A，B为n阶方矩阵,A2B2,则下列各式成立的是()。

(a)AB(b)AB(c)AB(d)AB 9.设A，B均为n阶方矩阵,则必有()。

(a)ABAB(b)ABBA(c)ABBA(d)AB 10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）2A2AT(b)(2A)12A1

(c)[(A1)1]T[(AT)T]1(d)[(AT)T]1[(A1)T]T

a1111.如果Aa21a31a12a22a32a13a113a31a23a21a33a31a123a32a22a32a133a33a23，则A（）。a332222100103003100（a）010(b)010(c)010(d)010

30100110103113112.已知A220，则（）。

311（a）ATA(b)A1A*

100113100113（c）A001202（d）001A202

01031101031113.设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABCI，则（）。

（a）ACBI（b）CABI（c）CBAI（d）BACI 14.设A为n阶方阵，且|A|0，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由AXBA，可得XB

（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A1B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不对 15.设A为mn阶矩阵，秩(A)rmn，则（）。

（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零

Ir（c）A经行初等变换可化为00（d）A为满秩矩阵 016.设A为mn矩阵，C为n阶可逆矩阵，BAC，则()。(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A)= 秩(B)(c)秩(A)

(a)有一个等于零(b)都为n(c)都小于n(d)一个小于n，一个等于n 18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。

(a)r(A)rn(b)A的列秩为n(c)A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在 19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n维非零向量X，均有AX0

二、填空题

1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2I,则行列式A_______ 0ab2.行列式a0c_______ bc01013.设2A020，则行列式(A3I)1(A29I)的值为_______ 0014.设A123232，且已知A6I，则行列式A11_______ 125.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A3，则A*_______ 6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______ a1b1a2b17.非零矩阵abn1a1b2a2b2anb2a1bna2bn的秩为________

anbn8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX0，则A的秩为_______ 9.若A(aij)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是_______

4IA10.若方阵与相似，则_______ A2K1KK12_______ 11.limK113KK1212.lim0n01211_______ 3104n

三、计算题

1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).223220101320211)110X32 ； 2)100X 111012102001 ；

3101013)X(IB1C)TBTI,其中B404 ； C212

422121 ；1014)AXA2XI,其中A020

101；4235)AXA2X,其中A110123；

2.设A为n阶对称阵,且A20,求A.1103.已知A021,求(A2I)(A24I)1.101A1123400124.设A1,A3,A4,求A,A22300010131125.设A224,求一秩为2的方阵B,使AB0.336A2A4.2110116.设A101,B121,求非奇异矩阵C,使ACTBC.1101107.求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵.12121A131 1)A 2)12201

8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩阵A.5329.设A644,求A100.445

四、证明题

1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.2.设Ak0(k为整数), 求证IA可逆.3.设a1.a2,,ak为实数,且如果ak0,如果方阵A满足Aka1Ak1ak1AakI0,求证A是非奇异阵.4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.ai4ai8；

i1150210.I；12.0；11.00.100

三、1.1）、132160122）、；2121301432013）、4）、153；030；；

102164012138603101215）、296.2.0；3.131； 1204.002129；1000013110101131111不唯一；6.100；2115.17.1）、.2)、；111001122003100（20221001）221003100310013***223）442（23）（231）8.100；9.（.100100100111（231）（213）（23）1

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