线性代数综合练习题及答案6_线性代数习题答案6

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线性代数综合练习题

（六）一、选择题

1.设A是mn矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充要条件是（）。（A）A的列向量组线性相关

（B）A的列向量组线性无关

（C）A的行向量组线性相关

（D）A的行向量组线性无关

2.1,2,,s(s2)线性无关的充要条件是（）

都不是零向量

任意两个向量的分量不成比例

至少有一个向量不可由其余向量线性表示 每个向量均不可由其余向量线性表示（A）（B）（C）（D）

ab223.设矩阵A。ba其中ab0且ab1，则A为（）

（A）正定矩阵

（B）负定矩阵

（C）初等矩阵

（D）正交矩阵

4.A为n阶方阵，i(i1,2,,n)是A的特征值，则必有（）。

（A）i(i1,2,,n)互异

（B）i(i1,2,,n)不等于零

（C）12na11a22ann

（D）12na11a22ann 5.若存在一组数k1k2km0使得k11k22kmm0成立，则向量组1,2,,n（）

（A）线性相关

（B）线性无关

（C）可能线性相关也可能线性无关

（D）部分线性相关

二、填空题

1223，B为非零矩阵，AB0，则t

。1.设A4t3112.设n阶方阵A的n个特征值为1，2，…，n，则AE。

1233.设列向量组13，23，32线性相关，则t。

2111024.已知正交矩阵A的两个列向量11，20，则A012。14112C355.若B，则BC10316

三、计算行列式

。111.11111234

491682764123234n12 2.Dn345n12n

1四、确定下列方程组是否有解，若有解，求其通解。

x12x2x3x4x512xxx2x3x212345 3x2xxx2x2234512x15x2x32x42x5

1五、解矩阵方程AXB求X，其中

101231

A012，B101

1101411211225011

六、求向量组1，2，3，4，5的最大线性无

0123314101关组，并把其他向量用最大线性无关组线性表示。

七、设n阶矩阵A满足AA，E为n阶单位矩阵，求证：R(A)R(AE)n。

23

八、设矩阵Ak421k，问当k为何值时，存在可逆矩阵P使得P1AP，232其中为对角矩阵？并求出相应的对角矩阵。

线性代数综合练习题

（六）参考答案

一、选择题

1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

二、填空题

1021.

3，2.(n1)!，3.

1，4.100120，5.1212021422.

三、计算题行列式

1.解：原式(21)(31)(41)(32)(42)(43)

1

2121212n(n1)23n(n1)34n(n1)452n12n123134152n(n1)14n2.解：原式12n(n1)12n11312

112n1012n(n1)00111n111n11n11111 2n(n1)1n111n11111n(n1)0n0n112n(n1)(1)21(n1)

2nn00四（10分）、解：此方程组的增广矩阵为

1121111211232r0B(A)03211220251221所以系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解.T0010001212785858011200

0T98385893511特解为(8,8,8,0,0)，对应的齐次线性方程组的基础解系为1(1,0)，2,2,2,1552(7)T.8,8,8,0,1所以通解为Xk11k22，(k1,k2R).五、解：

101231r012101(AB)

011170101231r012101

00127110r041000103141

0012714100所以XA1B3141.271

六、解：A1,2,3,4,5

11221112202151r022031315021104115002211221104r02151110300111 r0001100000000010010r0103100111

00000所以1,2,3是一个最大无关组，并且

41323，52

3七、证：由A2A得A(AE)0，所以 AE的列向量为方程组AX0的解，设R(A)r，则有R(AE)nr

所以 R(A)R(AE)rR(AE)rnrn

1112111 0

又R(EA)R(AE)，所以

nR(AEA)R(A)R(EA)R(A)R(AE)

即 nR(A)R(AE)，故

R(A)R(AE)n.八、解：

3AEk4得11，231，2122k3(1)(1)20

所以，A的特征值有重根，因此对于231而言，当方程组(AE)X0有两个线性无关的解时，A可以对角化.4AEk4224r0kk022220k 00若k0，则R(AE)2，方程组(AE)X0只有一个线性无关的解.422211r0000，当k0时，AE0042200011所以对应于231的特征向量为：12，20，021对应于11的特征向量为30，11111001令P200，且有PAP010.021001