高数8多元函数的极限与连续_高数函数极限与连续

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二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 lim(3x2y)14

x2y1211xsinysin，xy0，例2 函数f(x,y)在原点（0,0）的极限是0.yx

xy0.0二元极限不存在常取路径

x2y例3

证明：函数f(x，y)4在原点（0，0)不存在极限.((x，y)（0，0））4xy与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等.证明方法与一元函数极限证法相同，从略.上述二元函数极限limf(x，y)是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于xx0yy0x0与y0.这是个二重极限.二元函数还有一种极限：

累次极限

定义

若当xa时（y看做常数），函数f(x，y)存在极限，设当yb时，(y)也存在极限，设

lim(y)limlimf(x，y)B，ybybxa则称B是函数f(x，y)在点P(a，b)的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

limlimf(x，y)C.xayb那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系.例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在.如上述例3.2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在.如上述的例2.多重极限与累次极限之间的关系

定理

若函数f(x，y)在点P0(x0，y0）的二重极限与累次极限（首先y0，其次x0）都存在，则

limlimf(x，y).limf(x，y）xx0yy0xx0yy0

二元函数的连续性

定理

若二元函数f(P)与gP在点P0连续，则函数f(P)g(P)，f(P)g(P)，（g(P0)0）都在点P0连续

f(P)

g(P)

定理

若二元函数u(x，y)，v(x，y)在点P0(x0，y0)连续，并且二元函数f(u，v)在点(u0，v0)(x0，y0)，(x0，y0)连续，则复合函数f(x0，y0)，(x0，y0) 在点P0(x0，y0)连续.1.用极限定义证明下列极限：

1)lim(4x3y)19；

2）lim(xy)sinx2y12x0y011sin0； xyx2y2xy03）lim2.(提示：应用1.）22x0xy2xyy02.证明：若f(x，y)xy，(xy0)，则 xyy0x0

limlimf(x，y)1

与

limlimf(x，y)1.x0y0x4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋23(xy)于（0,0）时，函数f(x，y)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.（提示：在抛物线yx上讨论.)2x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点2xy（0，0）存在极限（关于D).5.求下列极限： 1）limxysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y422x0y03）lim(xy)In(xy)；

（提示：设xrcos，yrsin）

4）limx0y0(14x2)(16y2)12x23y2.

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