多元函数的极限_多元函数极限

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三． 多元函数的极限

回忆一元函数极限的定义：

limf(x)A设是定义域Df的聚点。xx0x00对0，总0,xU(x0,)Df时，都有f(x)A成立。

定义1 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P(x0,y0)是Df的聚点。如果

0Df时，都有存在常数A，对0，总0,P(x,y)U(P0(x0,y0),)f(x,y)A成立，那么称A为P(x,y)趋于P0(x0,y0)时，函数f(x,y)的极限，lifmP(A)记作P或者P0(x,y)(x0,y0)limf(P)A或者xlxi0fmP(A)或者

yy0f(x,y)A,(P(x(x0,y0)。0P,y))Df趋于P0； 注：1.P(x,y)P0(x0,y0)是指点P沿着任意路径在2.为了区别一元函数的极限，把二元函数的极限也称之为二重极限；

3.二元及其多元函数的极限的四则运算法则与一元函数一致。

22例1 设f(x,y)(xy)sin1limf(x,y)0。22，求证xx0yy0xy2证明 显然函数f(x,y)的定义域为DfR{(0,0)}，(0,0)是Df的聚点。因为

(x2y2)sin只须1122220xy(xy)sin0，0，所以对，要使2222xyxyx2y2成立即可。也就是说，对0，总0，22P(x,y)U0(O(0,0),)时，总有(xy)sin10成立，故

x2y2xx0yy0lim(x2y2)sin10。22xysin(x2y)? 例2 求极限limx0x2y2y0提示：四则运算，并考虑重要极限和基本不等式。x3y例3 证明函数lim不存在？ x0x6y2y0提示：设ykx3。学生练习1.求极限limsin(xy)?

x0xy2xy,x2y202limf(x,y)2学生练习2.证明函数f(x,y)xy的极限x0不存在？

y00,x2y20 四.多元函数的连续连

回忆一元函数连续的定义：

limf(x)f(x0)。f(x)在点x0处连续xx0Df的聚点，且定义2 设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为Df，P0(x0,y0)是limf(x,y)f(x0,y0)PDxx0。如果，那么称函数f(x,y)在点P 0f0(x0,y0)处连续。yy0定义3 设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且Df内每一点都是聚点。如果函数zf(x,y)在Df内的没一点处都连续，那么称zf(x,y)在Df上联系或者称zf(x,y)为Df上的连续函数。

注：1.定义2和定义3可以推广至n元函数的情形。

例1 设f(x,y)sinx，证明函数f(x,y)是R2上的连续函数？

limf(x,y)sinx02xx0(x,y)R分析：对P,证明（语言）。000yy0证明

Df的聚点，P定义4.设二元函数zf(x,y)的定义域为Df，且P0Df。0(x0,y0)是如果函数f(x,y)在点P则称点P0(x0,y0)处不连续，0(x0,y0)为函数zf(x,y)的间断点。

xy,x2y2022例2 函数f(x,y)xy在点O(0,0)的连续性？

0,x2y20解：点O(0,0)虽为定义域R2的聚点，但由于f(x,y)在点O(0,0)无极限，故函数f(x,y)在点O(0,0)间断。

例3 函数f(x,y)sin122的定义域为Df{(x,y)xy1}，但22xy1C{(x,y)x2y21}上的点为Df的聚点，又由于f(x,y)在C上没有定义。故C上的点是f(x,y)的间断点。

1.函数极限存在；2.有定义； 连续

3.极限等于该点的函数值；

多元函数的连续性的性质与一元函数一致：

1.多元连续函数的和差积商仍为其定义域上的连续函数； 2.多元连续函数的商在分母不为零的点处任连续； 3.多元连续函数的复合函数是连续函数；

4.多元初等函数是其定义区域内的连续函数（定义区域：半酣定义域的区域或者闭区域）。

可以利用多元初等函数的连续性求极限。例4 limxy?

x1xyy2,2)Df是内点，因此存在U(P分析：Df{(x,y)x0且y0}，P0(10;)Df是xy3f(1,2)。Df内的区域，因此limx1xy2y2一般地，若f(x,y)是初等函数，且P0(x0,y0)是f(P)的定义域的内点，则xx0yy0limf(x,y)f(x0,y0)。

与闭区间上一元连续函数的最值定理类似，有

性质1 定义在有界闭区域D上多元连续函数必取得最大值和最小值。性质2（介值定理）有界闭区域上多元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何一个值。

性质3 有界闭区域上多元连续函数必一致连续。

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