试题库分类题解答(多元函数的极限与连续)_函数极限连续试题库

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试题库分类考题解答

五.多元函数的极限与连续

1.相关性质，重极限与累次极限的关系(1).(2).①×；②×；③√；④×；⑤×；⑥×；⑦×；⑧√；⑨√；⑩×； f(x,y)x

21y

． 1y

(3).(4).(5).(6).2R中有界无限点集至少有一个聚点。

Ｄ。

定义域(x,y)y1x,且x2y21；有界开集。

①√；②√；③×；④√；⑤×；⑥√；⑦√；⑧√；⑨×；⑩√。

2.证明题(用定义证明极限式、用定义证明极限不存在、极限理论中的相关定理)(1).解：令ykx，则limf(x,y)lim

x0y0

kx

2x0

xkx



k1k

2与k有关，所以不存在极限。

(2).证明：0，0，当xx0时，(x)；当yy0时(y)A。所以：f(x,y)Af(x,y)(y)(y)A

f(x,y)(y)(y)A(x)(y)A2；

故

(3).(4).(5).(x,y)(x0,y0)

limf(x,y)A。

不存在。不存在。

解：①limf(x,y)lim

y0

xyxy

y0

0，limf(x,y)lim

x0

xyxy

x0

0；

limlimf(x,y)limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

②

(x,y)(0,0)x0

limf(x,y)f(x,y)

(x,y)(0,0)

limf(0,y)0，f(x,0)0，(x,y)(0,0)y0

lim

(x,y)(0,0)

lim

(x,y)(0,0)yx

limf(x,y)limf(x,x)lim

x0

x

x0

xx



1。2

所以，极限

(x,y)(0,0)

limf(x,y)不存在。

xyxy

(6).证明：因为：x,y沿直线x0趋向于(0,0)时，x,y0,0

lim

x,y0,0

lim

00，x,y沿曲线y

故：

xx趋向于(0,0)时，x,y0,0

lim

xyxy



x,y0,0

lim

xxxx



1，x,y0,0

lim

xyxy

不存在。

3.重极限的计算、累次极限的计算(1).(2).0．

1。

2(3).(4).解：

1

lim1(x,y)(,)xy

xsiny

1

lim1(x,y)(,)xy

xy





sinyy

e1。

解：xln(x2y2)

lim

xy)，(x,y)(0,0xy)limln

0

222

（0，）

故：

(x,y)(0,0)

limxln(xy)0。

(5).解：

(x,y)(0,0)

lim

1cosxyxy

sin



(x,y)(0,0)

lim2

xy

xy

2

(x,y)(0,0)

lim

xysin2

(xy)

1xy

22。

e1。

(6).(7).(8).(9).(10).解：

11(x,y)(,)xy

lim

sin(xy)



1

1(x,y)(,)xy

lim

sin(xy)

xy

０，不存在； 1，－1； 0；不存在； 解：0

xyxy



x(xy)2xy



x

0，（x0）；由两边夹定理，知： 2

x,y0,0

lim

xyxy

0。

(11).解：

x,y

0,0lim



x,y

0,0

lim

xy



112。



(12).解：0

xy

xy

（(x0，,)y0,)(），由两边夹定理：

x,y0,0

lim

xy

xy

0。

(13).0ecosyecos0

解：由初等函数的连续性：lim1；

x,y0,01xy10

xy

(14).解：

x,y0,0

lim

sinxy



xy



x,y0,0

lim

sinxy



xy

3xy

；令：tx3y3

xy

而

x,y0,0

lim

sinxyxy



xysint

lim1；lim

x,y0,0xyt0t

x,y0,0

lim

x



xyy

0；



x,y0,0

lim

sinxy

xyxyxy





x,y0,0

lim

sinxy



xy

x,y0,0

lim

xyxyx

0。

(15).(16).解：因为：0



xy1，所以：lim

x,y,x2y22

0。

解：令：xrcos,yrsin，则x,y时，r。

0

xyxy

424



rcossin



r11sin22



112

；当r时： 22

1rr2

xyxy

xyxy



rcossin，关于一致收敛于0，故：lim

xy

0。

4.函数的连续性讨论(1).解：设xrcos,yrsin，当p

f(x,y)0f(0,0)，在点(0,0)处连续； 时，2p10，lim

(x,y)(0,0)2

1,p12

当p时，2p10，limf(x,y)，在点(0,0)处不连续；

(x,y)(0,0)2,p2

(2).解：

x,y0,0

lim

fx,y

x,y0,0

lim

xyxy

不存在，fx,y在(0,0)点不连续。

(3).解：

x,y0,0

lim

fx,y

x,y0,0

limylnxy



，而

0ylnxy



x

y

lnx

y

0,x,y0

故

(4).x,y0,0

lim

fx,y0f0,0fx,y在(0,0)点连续。

解：因为：0fx,yf0,0fx,yy0，（x,y0,由两边夹定理，

x,y0,0

）

lim

fx,y0f0,0，f

x,y在原点的连续性。

5.连续函数性质(局部、整体、与单变量连续的关系)(1).(2).①√；

证明：limf(0,y)lim

y0

0y0y

x0

y0

0f(0,0)，limf(x,0)lim

x0

y0

x0

0f(0,0)，即f在(0,0)处对单变量x与y都是连续的。

又取xy路径，x,y0,0时，有：limf(x,y)lim

x0

yx

xyxy0y0y

y0

lim

xxxx

y0



1； 2

取x0路径，x,y0,0时，有：limf(0,y)lim

y0x0

y0

0；

所以，x,y0,0

limf(x,y)不存在。故：f(x,y)在(0,0)点不连续。