第十六章 多元函数的极限与连续_多元函数的极限和连续

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第十六章 多元函数的极限与连续(1 0 时)§1平面点集与多元函数(3 时)

一.平面点集: 平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是

{(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷角域: {(r,)|}.⑸简单域:X型域和Y型域.2.邻域:圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| ,0|yy0|}的区别.二.点集的基本概念:

1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|

3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集:

6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

5|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.三.点列的极限:设Pn(xn , yn),P0(x0 , y0).定义limPnP0的定义(用邻域语言).n

例2(xn , yn)(x0 , y0)xnx0,yny0,(n).例3 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

四.R2中的完备性定理:

1.Cauchy收敛准则:

先证{(xn , yn)}为Cauchy列{ xn}和{ yn}均为Cauchy列.2.闭集套定理:[1]P89.3.聚点原理: Weierstra聚点原理，列紧性.4.有限复盖定理:

五.二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域：

例4 求定义域：

ⅰ>f(x,y)

3.有界函数:

4.n元函数:

Ex[1]P92—931—8.9x2y2x2y21;ⅱ>f(x,y)lny.2ln(yx1)

§2二元函数的极限(3 时)

一.二元函数的极限:

1.二重极限limf(P)A的定义:也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或

xx0yy0limf(x,y)A

146

例1 用“”定义验证极限(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy

20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2

y0

x2y2,(x,y)(0,0),xy22例3 设f(x,y)xy

0 ,(x,y)(0,0).

证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)[1]P94 E2.PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD

推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2, PP0PE1PP0PE2

但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD

推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD

收敛.2方向极限:

方向极限limf(x0cos ,y0sin)A的定义.0

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关;或沿两条特殊的路径的极限存在而不

相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等  二重极限存在(以下例5).xy,(x,y)(0,0),22f(x,y)不存在.例4 设f(x,y)xy 证明极限lim(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).

(考虑沿直线ykx的方向极限).[1]P95 E3.例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，其余部分.证明极限(x,y)(0,0)limf(x,y)不

存在.[1]P95 E4.147

二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:

ⅰ>(x,y)(0,0)limx2ysinxylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2

xy11ln(1x2y2);ⅳ>lim.22(x,y)(0,0)xyxy

f(x,y)的定义:ⅲ>(x,y)(0,0)lim3． 极限(x,y)(x0,y0)lim

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y

Ex[1]P99—1001⑴—⑹，4，5.二.累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.[1]P97 E6.22xy

x2y2

例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy

例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx

2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin

1y

在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.148

Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则xx0yy0

必相等.(证)[1]P98.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.Ex[1]P99

2§3二元函数的连续性(2 时)

一． 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义 用邻域语言定义连续.注: 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.xy

例1 设f(x,y)22 ,x2y20 ,xy

m

1m2 ,x2y20.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.例1 设f(x,y)1 ,0yx2,x ,0 ,其他.([1]P101)



证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.(仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性:定义.三.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

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Ex[1]P104—1051 ⑴—⑸，2，4，5.150

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