立体几何线面垂直_立体几何线面垂直证明

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线面垂直问题

（1）直线在平面内a（无数个公共点）；（2）直线和平面相交aA（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行a//（没有公共点）

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，l

l,m,l//ml//m



如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这l//,l,ml//m4 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线6 :

平面,7．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：,垂线,射影

⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,直线与平面平行，9．射影长相等定理:10．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0 2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切

11在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：PO,O,PAA,a,aOAaPA12．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这 推理模式： PO,O,PAA,a,aAPaAO．

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定⑵要考虑a

线面垂直问题

基本题型：

1．（1）“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的（）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2）如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（）

（A）l（B）l⊥（C）l∥（D）l或l∥答案：（1）B(2)D 2．（1）过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一 3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？答案：（能，而且有无数条）（不能）

答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.答案：是.假若有两个平面,过点A都于l垂直，过这条公共垂线l作一个不经过两平面,的交线的平面，与,分别相交于直线a,b,ablA且la,lb，l,a,b，从而有ab，此与abA矛盾.答案：是

8．点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若ACBD,ADBC，求证：ABCD．

证明：连结OB,OC,OD，∵AO平面BCD，且ACBD

∴BDOC（三垂线定理逆定理）

同理ODBC，∴O为ABC的垂心，∴OBCD，又∵AO平面BCD，∴ABCD（三垂线定理）

9．如图，已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．

求证：

BE不可能垂直于平面SCD．

证明：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，BADOC∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．

∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．

∴ BE不可能垂直于平面SCD B

E

C10． 已知：空间四边形ABCD，ABAC，DBDC，求证：BCAD

证明：取BC中点E，连结AE,DE，∵ABAC,DBDC，∴AEBC,DEBC，∴BC平面AED，又∵AD平面AED，∴BCAD．

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