线面平行_空间线面平行

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2003年秋季高二数学期末考试复习提纲⑶

直线和平面平行

一、基本知识

⒈直线和平面的位置关系（根据公共点的个数划分）

⑴直线在平面内——有无数个公共点，⑵直线和平面相交——有且只有一个公共点，⑶直线和平面平行——没有公共点。

我们把直线和平面相交或平行的情况统称，记作。

如果一条直线和这个的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

a即：ba//

a//b ⒊直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面，那么这条直线和平行。

即：aa//b

ba//β

二、经典例题 例1：如图，已知E、F、G、M分别是四面体 的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平 面EFG。证明：如图1，连结DM，交GF于O点，连结OF，在BCD中，G、F分别是BD、CD中点，∴GF//BC，∵G为BD中点，∴O为MD中点，在AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO//AM，又∵AM平面EFG，EO平面EFG，∴AM∥平面EFG。

【点评】要证明直线和平面平行，只须在平面内

图1 找到一条直线和已知直线平行就可以了，如果没有现 ．．．．

成的直线，我们就要添加辅助线，应重视中位线定理在解题中的应用。

例2：如图，AB//，AC//BD，C

，D，求证：ACBD。证明：连结CD，∵AC//BD，∴直线AC和BD∵C,D，C,D，∴CD∵AB//，AB，CD ∴AB//CD，又∵AC//BD，∴四边形ACDB为平行四边形，∴ACBD。

【点评】有的同学误认为：“直线与平面平行，就和平面内任何一条直线．平行”，如本题AB//AB//CD就显得有点操之过急了，那么直线与平面平行，到底和平面内什么样的直线平行呢？其实，如果直线与平面平行，我们应先从已知直线引出一个平面与已知平面相交，已知直线和交线才会平行。

例3：已知：如图，m，l//，l//，求证：l//m。

l//

mmβ

证明：过l作平面使得a，过l作平面使得b，l//



∵ll//a，ll//b，∴a//b，ab

∵b，a，∴b//，∵b，m，∴b//m，∵l//a//b，∴l//m。

【点评】我们可以通过直线间的平行推证直线与平面平行，也可以根据直线与平面平行来解决直线间的平行问题，简言之：线线平行与线面平行可以互．．．相利用。．．．

例4：如图2，直线AB和CD是异面直线，AB//，CD//，ACM，BDN，求证：

AMMC

BNND。

图

2AB//

图

3证明：如图3，连结AD交平面于点Q，连结MQ、QN。



AQBN

AB//QN解：AB平面ABD，

QDND

平面ABD平面QN



AQAM

CD平面ACDCD//MQ，

QDMC

平面ACD平面MQAMBN

∴。MCND

【点评】有的同学会直接连结MN，然后利用平行线分线段成比例定理来

CD//

证明，这就大错特错了，因为直线AB、MN、CD不可能互相平行，而是两两互为异面直线（想一想为什么？）。这就要求同学们要通过适当的练习逐步培养空间想象能力和观察能力，而不是仅凭直观感觉胡乱下结论。

例5：如图4，在边长为a的正四面体（六条棱都 相等的四面体）ABCD中，对棱AD与BC所成的角为

60，EAD

是AB边上的动点，过点E作一个截面平行于

F

D 图

4与BC，分别交AC、CD、DB于F、G、H。

⑴求证：四边形EFGH为平行四边形；⑵E在AB何处 时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？





AD平面ABDAD//EH

平面ABD平面EFGHEH⑴证明：EH//AD//FG

AD//平面EFGH



AD平面ACDAD//FG



平面ACD平面EFGHFG

AD//平面EFGH，同理：EF//BC//HG，因此：四边形EFGH为平行四边形。⑵设AEx，则BEax，在ABC中，EF//BC在ABD中，EH//AD∵EH//AD，EF//BC，∴FEH（或FEH的补角）即为异面直线AD与BC所成的角，∴FEH60（或120），∴S截面EFGH2SEHF2EFEHsinFEH

2





x(ax)≤

321



EFBCEHAD

AEABBEBAEFaEHaxa

EFxaxa，EHax

x(ax)2

4a2



a，（当且仅当xax即x时取等号）

38a

∴当E恰为AB中点时截面EFGH的面积最大，最大面积是。

【点评】均值不等式是求最值的一种重要方法，希望同学们能熟练应用： 若a,bR，则ab≥2ab（当且仅当ab时取等号）若a,b,R，则abc≥33abc（当且仅当abc时取等号）我们可以根据需要作如下变形： 若a,bR，则ab≤



(ab)

（当且仅当ab时取等号）

若a,b,R，则abc≤

(abc)

（当且仅当abc时取等号）

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