线面平行证明“三板斧”_证明线面平行

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线面平行证明“三板斧”

线面平行是高考的重点，也是平行关系中的核心。在证明线面平行的过程中，如何快速的找到证明的思路，此文的目的就在于此。将证明的过程程序化，可以帮助学生形成良好的思维习惯，也可以引导学生学会去总结。

第一斧：从结论出发，假定线面平行成立，利用线面平行的性质，在平面内找到与已知直线的平行线。

例１：如图正方体ABCDA1BCＥ为11D1中，DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由。

招式讲解：三点确定一个平面，已知直线只需再有一点即可确定一个BD1已有二点，平面。为了更直观的找到两平面的交线，选择第三点时有技巧可寻。平面AEC将空间分为两个部分，第三点可选在与线段BD1的另一侧，本题中即Ｄ点。三点组成的三角形，除BD1的另两边BD，则两交点形成的直线与BD1平DD1必然与平面AEC相交，行。在实际证明过程中，两交点在题中的位置越特殊，越有可能为正确的辅助线。

证明展示 证明：连结BD与ＡＣ交于点Ｏ，连结OE

Ｅ、Ｏ分别为DD1、BD中点

OE//BD

1又OE平面AEC，BD1平面AEC

BD1//平面AEC

招式点评

优点：招式简洁，证明过程简易。

缺点：与平面的交点若不是特殊点，会出现能找出平行线，但难于证明的情况。再有就是平面的另一面可能在题目中难以找到第三点。实战试招１：

如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，点Ｆ为PC中点，求证：

PA//平面BFD

D

第二斧：以平面外的直线作平行四边形

例2：如图，正方体ABCDA1BCE为A1B111D1，上任意一点，求证：AE//平面DC1

招式讲解：通过平行四边行找平行线是高中

立体几何中的常见手段。若能够找到平行四

边行的相邻两边，则就能作出平行四边形。

本题中AE可做为平行四边形的一边，则另一

边可以是A1E,EB1,AB,AD,AA1，若考虑到可在题目中较为容易的画平形

四边形则只有EB1和AD。这时，可以发现以AE,AD两边所作的平行四边形为本题所要的。

证明展示

证明：过E点作AD的平行线，交C1D1与F点，连结DF

EF//A1D1，A1E//D1F

四边形A1EFD1为平行四边形 EFA1D1

EF//AD且EFAD

四边形ADFE为平行四边行

AE//DF又AE平面DC1,DF平面DC1

AE//平面DC1

招式点评

优点：招式本身的关键在于平行四边行，同学们比较熟悉，因此接受起来比较快。

缺点：找平行四边形的思维过程中可能的情况比较多，要一个一个去排除，需要一定的逻辑思维能力。再有，招式本身不能解决所有题目要注意变招。

实战试招

2如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E为B1C1的中点，F为AA1的中点，求证：A1E//平面BCF 1

第三斧：选证明面面平行，再由线平行的定义过度到线面平行。

例3：如图，四棱锥PABCD，底面ABCD

为正方形，E，F，G分别为PC,PD,BC的中点，求证：PA//平面EFG 招式讲解： 面面平行到线面平行的方法中，寻找与平面EFG平行的平面是解题的关键，而寻找平行平面遵循一定的方法其实是很容易找到的。两条相交直线可以确定一个平面，已知直线PA可以看作是一条，我们只需要找EF,EG,FG中三条边中任何一条线的平行线即可。但所找的平行线还需满足一个条件，与已知直线PA相交。题目中，EF与FG的平行线都很容易找到，比如我们找到满足要求的EF的平行线AB，则PA与AB所组成的平面PAB就是我们所要找到平面。接下来我们的任务就是证明平面PAB//平面EFG。

证明展示

证明：E,F分别为PC与PD中点

EF//DC,又DC//AB

EF//AB,又EF平面EFG,AB平面EFG

AB//平面EFG

E,G分别为PC,BC中点

PB//EG,又EG平面EFG,PB平面EFG

PB//平面EFG

又ABPBB

平面PAB//平面EFG PA平面PAB

PA//平面EFG

招式点评

优点:与前二斧而言使用范围最广的招式,套路式的方法很容易找到证明的思路。大部分的题目都可以使用这招得到解决，只不过是证明过程的长度有所不同而已。

缺点：由于证明面面平行，必须先证两个线面平行，所以不论题目难易过程都较长。步骤多，要写好要下一番功夫。

实战试招

3如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）D为BC的中点，求证：AC1//平面AB1D

总结：线面平行证明的三种方法中，多数题目其实都可以用第一、二种方法得到解决，因此前二种方法是首先。第三种方法虽然证明过程长，但其思路是很固定的，实践过程中更容易为同学们所掌握。一个题目可能有几种证法，同学们练习时可以三种方法都去试一试，看看有几种办法可以解决。在熟悉以后，解题过程中可按照招式一、二、三的顺序依次去思考。

另：对于考试中的另一重点，垂直关系就很难总结为平行中一样固定的模式，但解题时也有一定规律可寻，详情在另一文中讲述。

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线面平行证明

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