数学竞赛教案讲义(14)——极限与导数（全文）_数学竞赛教案讲义

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第十四章 极限与导数

一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|

2极限的四则运算：如果limf(x)=a, limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±b,xx0xx0xx0xx0lim[f(x)•g(x)]=ab, limxx0f(x)a(b0).g(x)bxx0xx03.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若limy存在，则称f(x)在x0

x0xdydx，x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作f'(x0)或y'xx0或即f'(x0)limxx0f(x)f(x0)。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。xx0若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数f'(x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。6．几个常用函数的导数：（1）(c)'=0（c为常数）；（2）(xa)'axa1（a为任意常数）；（3）(sinx)'cosx;(4)(cosx)'sinx;(5)(ax)'axlna;(6)(ex)'ex;（7）(logax)'11（8）(lnx)'.logax；xx7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

（1）[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'(x)；（3）

[（c为常数）；（4）[cu(x)]'cu'(x)1u'(x)u(x)u(x)v'(x)u'(x)v(x)[]']'2；（5）。2u(x)u(x)u(x)u(x)8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)])'=f'[(x)]'(x).9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有f'(x)0，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有f'(x)0，则f(x)在(a,b)单调递减。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f'(x0)0.11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时f'(x)0，当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)0，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时f'(x)0，当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)0，则f(x)在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f'(x0)0,f''(x0)0。（1）若f''(x0)0，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若f''(x0)0，则f(x)在x0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使f'()0.[证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，f'(x)0.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故f'(c)0，综上得证。

14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使f'()f(b)f(a).baf(b)f(a)(xa),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且

baf(b)f(a)F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使F'()=0，即f'().ba[证明] 令F(x)=f(x)-15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,f''(x)0,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,f''(x)0,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

+16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≢a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法与例题 1．极限的求法。

an2n1例1 求下列极限：（1）lim222；（2）lim（3）(a0)；

nnn1annn111；n(n1n).lim（4）lim222nnn2nnn1

例2 求下列极限：（1）lim(1+x)(1+x)(1+x)…(1+x)(|x|

n

2222nx2113（2）lim（3）lim。；

x1x11x31x3x1x

2．连续性的讨论。

例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，2f(x)=x(1-x)，试讨论f(x)在x=2处的连续性。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

4．导数的计算。

5x23xxcos2x例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）y；（3）y=e；（4）

xxyln(xx21)；（5）y=(1-2x)(x>0且x1)。2

5．用导数讨论函数的单调性。

例6 设a>0，求函数f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

6．利用导数证明不等式。例7 设x(0,2)，求证：sinx+tanx>2x.7.利用导数讨论极值。

2例8 设f(x)=alnx+bx+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

例9 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。

三、基础训练题

2n13n11．lim=_________.n2n3nn21anb2．已知lim2，则a-b=_________.nn11cos3．limn3x4x12(n1)lim_________.3nn3x2x2232xn1(n1)xn_________.4．lim2x1(x1)2(1)n5．计算limlim(x21x21)_________.nxn6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且f'(0)存在，则f'(0)_________.7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且f'(2)1，则limh0f(2h)f(2h)_________.2h8．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.9．函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_________.1x210．函数f(x)ln的导数为_________.1x211．若曲线y0111在点处的切线的斜率为，求实数a.M(2,)2244(xax)12.求sin29的近似值。13．设0

sinaatana,求证：.sinbbtanb

2四、高考水平练习题

1242n11．计算lim=_________.n13323n12x3x_________.2．计算lim2x2x12x13．函数f(x)=2x-6x+7的单调递增区间是_________.。32exex4．函数yx的导数是_________.xee5．函数f(x)在x0邻域内可导，a,b为实常数，若f'(x0)c，则x0limf(x0ax)f(x0bx)_________.x6．函数f(x)=1xe(sinx+cosx),xx[0,]的值域为_________.227．过抛物线x=2py上一点(x0,y0)的切线方程为_________.8．当x>0时，比较大小：ln(x+1)_________x.5439.函数f(x)=x-5x+5x+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.-x-t10．曲线y=e(x≣0)在点M(t,e)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_________.2211．若x>0，求证：(x-1)lnx≣(x-1).12．函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数f'(x)是减函数，且f'(x)>0，x0∈(0,+2∞).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),f'(x0)表示m；（2）证明：当x∈(0,+∞)时，g(x)≣f(x)；（3）若关于x的不等32式x+1≣ax+b≣x3在(0,+∞)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足2的关系。

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+

五、联赛一试水平训练题

1．设Mn={（十进制）n位纯小数0•a1a2an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim21xn11(nN),证明：xn≢1(n∈N+).Sn_________.nTn2．若(1-2)展开式的第3项为288，则limx9

1112n_________.nxxx3．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x

f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)

2x16．已知f(x)8．已知-1f(x)=ln(e+a)(a>0)，若对任意

x

x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]

xb11.若函数gA(x)的定义域A=[a,b)，且gA(x)=11,其中a,b为任意的正实

ax数，且a

22（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，证明：gI(x1)gIk222

2k1(x2)4.k(k1)

六、联赛二试水平训练题

x2x21．证明下列不等式：（1）xln(x)x(x0)；

22(1x)（2）tanxx,x0,。xsinx2abbccdda2．当01.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x

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