数学教案：导数的应用

第1篇：数学教案：导数的应用

数学教案：导数的应用

数学教案：导数的应用

导数的应用

一、教学目标

1.掌握用导数解决已知函数解析式求区间当中的参数的取值范围；

2.掌握用导数解决已知函数单调区间求函数的参数的取值范围；渗透数形结合、分类讨论的的思想．

二、情感目标

通过教学培养学生遇到问题要勇于探索，努力寻找解决问题的办法的思想品质．

三、教学重点

数形结合，利用函数图象分析相关问题．

四、教学难点

在运动中对函数图象的分析．

五、教学方法

启发式、探究式．

六、教学过程

已知函数 ，．

问题一：

（1） 当x=2时f(x)取得极值，求a的值；

（2）

小结：

（3） 在（1）的`条件下，求函数f(x)的递增区间；

（4）

小结：

学生活动：学生练习，讨论，得出结论.

设计意图：利用简单问为下列问题做铺垫提高解题能力

（5） 若在（1）的条件下，函数f(x)在上递增，求b的取值范围；

（6）

小结：

学生活动：学生讨论，利用课件引导学生分析，归纳.

设计意图：培养学生对导数的应用能力和解决实际问题的能力.

问题二：

（7） 若函数f(x)在R上递增，求a的取值范围；

（8）

（9） 若函数f(x)在上递增，求a的取值范围；

（10）

学生活动：学生讨论，利用课件引导学生分析，归纳．

设计意图：培养学生数形结合的思想及分类讨论的思想．

（6）若函数f(x)在上递增，求a的取值范围．

小结：

解题反思：

学生活动：学生讨论，利用课件引导学生分析，归纳.

小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题．在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值．选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数、不等式及解析几何结合，属于高考的中高档题；一般地对于含有字母的一元二次不等式的恒成立问题，用图象求解，从图象的开口方向、判别式、对称轴和区间端点的函数值四个方面进行讨论．

第2篇：高三数学教案：导数的概念及应用

课时考点2 导数的概念及应用

高考考纲透析：（理科）

(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。（文科）

(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。

高考风向标：

导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。

高考试题选：

1.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能 的是（）

x2.设曲线ye(x≥0）在点M（t,e--t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.23.已知a为实数，f(x)(x4)(xa)，（Ⅰ）求导数f(x)；（Ⅱ）若f(1)0，求f(x)在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.热点题型1: 函数的最值

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解：（I）f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

变式新题型1：

已知f(x)ax36axb,x[1,2]的最大值为3，最小值为29，求a,b的值。

解题分析：对a的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。

热点题型2: 函数的极值

已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值.（1）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.（1）解：f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即

3a2b30,3a2b30.解得a1,b0.∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1).令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故

f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x03x0.2因f(x0)3(x01)，故切线的方程为yy03(x01)(xx0)

2注意到点A（0，16）在切线上，有

32316(x03x0)3(x01)(0x0)

化简得x08，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.变式新题型2：

322已知f(x)xaxbxc和g(x)x3x2若yf(x)在点x1处有极值，且

曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线。（1）求a,b,c的值，（2）求yf(x)在R上的极大值和极小值。

解题分析：关健点是：曲线yf(x)和yg(x)在交点（0,2）处有公切线构造两个方程。

热点题型3: 函数的单调性

(理科)已知函数f(x)

简明答案：（Ⅰ）f(x)ax6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.x2b（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.2x6；

（Ⅱ）f(x)在(,323)和(323,)上是减函数，2x3在(323,323)上是增函数。

（文科）已知函数f(x)x3bx2axd的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6xy70（.Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调区间.简解：（Ⅰ）f(x)x33x23x2，（Ⅱ）f(x)x3x3x2在(,12)和(12,)上是增函数，在32(12,12)上是减函数。

变式新题型3：

42已知函数f(x)axbxc的图象经过点（0,1），且在x1处的切线方程是yx2，（1）求yf(x)的解析式；（2）求yf(x)的单调递增区间。

解题分析：关健点是：在x1处的切线方程是yx2构造两个方程。

热点题型4: 分类讨论在导数中应用

已知aR，函数f(x)x2|xa|。

（1）当a2时，求使f(x)x成立的x的集合；（2）求函数yf(x)在区间[1,2]上的最小值。解：（1）由题意，f(x)x|x2|

2当x2时，f(x)x(2x)x，解得x0或x1； 2当x2时，f(x)x(x2)x，解得x122

综上，所求解集为{0,1,12}；（2）设此最小值为m

32①当a1时，在区间[1,2]上，f(x)xax

2a0,x(1,2)3则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以mf(1)1a； 因为f(x)3x2ax3xx2 ②当1a2时，在区间[1,2]上，f(x)x2|xa|0，则f(a)0知

mf(a)0；

③当a2时，在区间[1,2]上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x2ax 3若a3，在区间(1,2)内f(x)0，从而f(x)为区间[1,2]上的增函数，由此得：

mf(1)a1；

若2a3，则1当1x2a2 322a时，f(x)0，从而f(x)为区间1,a上的增函数； 3322当ax2时，f(x)0，从而f(x)为区间a,2上的减函数 33因此，当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)；

7当2a时，4(a2)a1，故m4(a2)

37a3时，a14(a2)，故ma1 31a,当a1时0,当1a2时综上所述，所求函数的最小值m4(a2),当2a7时

3a1,当a7时3当变式新题型4：

已知aR，求函数f(x)x2eax的单调区间。

备选题：

已知a > 0，函数f(x)= x3 – a，x∈[0，+)．设x1 > 0，记曲线y = f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）．证明：

（ⅰ）x2≥1a3；（ⅱ）若x1>

1a3，则

1a3

（Ⅰ）解：求f(x)的导数：f(x)= 3x2，由此得切线l的方程：

3a)= 3x12(xx1)． y –(x1

（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y = 0，33x1a2x1ax2 = x1 –，3x123x12113

（ⅰ）x2a2(2x1a3x12a3)=2(x1a3)2(2x1a3)≥0，3x13x113111 所以

x2≥a，当且仅当x1 =a时等号成立．

13113133x1a

（ⅱ）若x1 >a，则xa0,x2x10，且由（ⅰ）x2 >a3，23x13113 所以a

第3篇：导数应用一例

导数应用一例

石志群

13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。„„„„„„„„„„„„„„„„（1）33

这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a

11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？

一是

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第4篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x32、已知f(x)xsinxx

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax2

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第5篇：应用导数证明不等式

应用导数证明不等式

常泽武指导教师：任天胜

（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）

摘要： 不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。

关键字： 导数 不等式最值中值定理单调性泰勒公式

中图分类号： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to deri

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第6篇：导数的应用(三)

课题：导数的应用

（三）一、学习目标：

1．能利用导数解决函数的方程根的个数问题； 2．利用导数解决不等式问题

五、达标训练：

二、重点、难点:

利用导数研究与函数的极值与最值有关的综合问题

三、知识梳理：

1．函数的极值 2．利用导数求函数最值的步骤：

（1）（2）（3）（4）

3．如何利用导数研究方程根的问题？

4．如何利用导数研究不等式问题？

5．恒成立问题如何转化为函数最值问题？

四、典型例题：

例1：设函数f(x)x6x5,xR

（1）求函数f(x)的单调区间和极值

（2）若关于的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围（3）已知当x(1,)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围

例2: 已知a,b为实数，bae，其中e为自然对数的底数.求证：ab

ba

例3: 已知函数f(x)alnxx1b

x，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30．

（I）求a，b的值；（II）证明：当x>0，且x1时，f(x)lnx

x1

．

1．已知函数f(x)x

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第7篇：导数及其应用 知识点总结

导数及其应用 知识点总结

1、函数fx从x1到x2的平均变化率：

f

x2fx1

x2x1

xx0

f(x0x)f(x0)

x2、导数定义：fx在点x0处的导数记作y

f(x0)lim

；．

处的切线的斜率．

x03、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线

4、常见函数的导数公式：

yfx

在点

x0,fx0

①C'0；②(xn)'nxn1；③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx； ⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；⑦(log5、导数运算法则：

a

x)

'

1xlna

；⑧(lnx)'

1x

1



fxgxfxgx；

fxgxfxgxfxgx；

2

fxfxgxfxgx

gx02

gx3gx．

6、在某个区间a,b内，若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递增；

若f

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第8篇：导数及其应用_知识点总结

导数及其应用 知识点总结

1、函数{ EMBED Equation.DSMT4 |fx从到的平均变化率：

2、导数定义：在点处的导数记作；．

3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧

5、导数运算法则：；；

．

6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

7、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的

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