立体几何的证明方法1]_立体几何证明方法

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立体几何的证明方法总结

文字语言表述部分：

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形；

2、利用三角形或梯形的中位线；

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法

1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理；

2、等腰三角形；

3、菱形对角线;

4、圆所对的圆周角是直角；

5、点在线上的射影；

6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理）

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；

2、点在面内的射影；

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂

直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面

面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角；

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

立体几何常见证明方法

数学符号表述部分

1、线线平行

①利用相似三角形或平行四边形

②利用公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

③线面平行线线平行 a//即aa//l

l

④面面平行线线平行 //即aa//b

b

即aa//b

b

2、线线垂直

①两条直线所成角为90②线面垂直线线垂直

即aab b

③三垂线定理及其逆定理

AB

三垂线定理：

AC

l

BCl

三垂线逆定理：AB

BCl ACl

④两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。

3、线面平行

①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；

②线线平行线面平行

若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。

a//b即ba//a

③面面平行线面平行

若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。

即//a//a

4、线面垂直

①线线垂直线面垂直

ab,ac即b,cabcO

②面面垂直线面垂直

两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。,la,即a

al

即//l

 l



④两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。即a//bb

 a

5、面面平行

①线面平行面面平行

若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

a//,b//即a,b//

abO

②平行于同一平面的两个平面平行

//即// //

即l// l

a a

6、面面垂直 ①依定义，二面角的平面角为90；②

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