线性代数电子教案LA22B_免费线性代数电子教案

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6.伴随矩阵：A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij．

a11a21

Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n，A*12annA1nA21A22A2nAn1An2

Ann

重要性质：AA*A*A(detA)E

7.共轭矩阵：复矩阵A(aij)mn的共轭矩阵记作A(aij)mn．

算律：(1)(AB)AB

(2)(kA)kA

(3)(AB)AB

(4)(A)(A)AH

§2.3 逆矩阵

定义：对于Ann, 若有Bnn满足ABBAE, 则称A为可逆矩阵,且B为A的逆矩阵, 记作A1B．

定理1 若Ann为可逆矩阵, 则A的逆矩阵唯一．

证

设B与C都是A的逆矩阵, 则有

ABBAE, ACCAE

BBEB(AC)(BA)CECC

定理2 Ann为可逆矩阵detA0；

Ann为可逆矩阵A1

证

必要性．已知A1存在，则有

AA1EdetAdetA11detA0

充分性．已知detA0，则有

A*A*AE

AAAA(detA)EAdetAdetA1A*．

由定义知A为可逆矩阵，且A1detA**TT记作1A*． deAt 7 [注]detA0时, 亦称A为非奇异矩阵；

detA0时, 亦称A为奇异矩阵．

推论1 对于Ann, 若有Bnn满足ABE, 则A可逆, 且A1B．

证 ABEdetAdetB1detA0A可逆

A1A1EA1(AB)(A1A)BEBB

推论2 对于Ann, 若有Bnn满足BAE, 则A可逆, 且A1B．

算律：

(1)A可逆A1可逆, 且(A1)1A．

对于A1, 取BA, 有A1BA1AE．

(2)A可逆, k0kA可逆, 且(kA)1A1．

k11

对于kA, 取BA1, 有(kA)B(kA)(A1)AA1E．

kk

(3)Ann与Bnn都可逆AB可逆, 且(AB)1B1A1．

对于AB, 取CB1A1, 有

(AB)C(AB)(B1A1)A(BB1)A1E．

(4)A可逆AT可逆, 且(AT)1(A1)T．

对于AT, 取B(A1)T, 有ATBAT(A1)T(A1A)TE．

(5)A可逆detA11． detA

(6)Ann与Bnn都可逆(AB)*B*A*．

证(AB)*[det(AB)](AB)1[(detA)(detB)][B1A1]

[(deBt)B1][(deAt)A1]B*A*

负幂：A可逆, 定义A0E, Ak(A1)k(k1,2,), 则有

AkAlAkl,(Ak)lAkl

(k,l为整数)310541, A11A*110123

例1 A21155111401

例2 设Ann满足A22A4EO, 求(AE)1． 解

A22A4EOA22A3EE

(AE)(A3E)E(AE)1A3E

应用：

(1)n阶线性方程组求解 Annxb, detA0xA1b

(2)求线性变换的逆变换 yAnnx, detA0xA1y

(3)矩阵方程求解

设Amm可逆, Bnn可逆, 且Cmn已知, 则

AXCXA1C

XBCXCB1

AXBCXA1CB1

21510, C20 满足AXC2X, 求X．

例3 设A23135216

解

并项：(A2E)XC

计算：X(A2E)1C

05412131

101232071

51101351111 满足A*XA12X, 求X．

例4 设A111111 9

解

并项：

(A*2E)XA1

左乘A： [(detA)E2A]XE

t4

计算：

deA

X(4E2A)11(2EA)121101 0114

密码问题：

a1, b2,c3, „ ,z26

123011

A112 , A1221

012111

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 167981

加密：A344 , A1552

20431443发出∕接收密码：67, 44, 43, 81, 52, 43 

解密：A1674413 , A18152915

43204314明码：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

101§2.4 分块矩阵

11

A0011

A00011010A11021A21003011010B1021003A12 A22B2B3B4

用若干条横线与纵线将矩阵A划分为若干个小矩阵, 称这些小矩阵 为A的子矩阵, 以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．

特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；

同列上的子矩阵有相同的“列数”．

A11A1rB11B1rB, mn

As1AsrBs1Bsr

1.加法：AmnA11B11A1rB1r

AB As1Bs1AsrBsr 要求：A与B同阶, 且分块方式相同．

2.数乘：kAmnkA11kA1r

kAs1kAsr

3.乘法：AmlA11A1tB11B1rB, ln

As1AstBt1Btr

CijAi1B1jAitAi1B1jAitBtj

Btj 11 C11C1r

AB Cs1Csr 要求：A的列划分方式与B的行划分方式相同．

10

例1 A110121001000E0A211104201B111B210O E0112

B1011E B22B11

ABA21B11B211E1A21B22210241103301 31

4.转置：AmnTA11A11A1rTA, A1TrAs1AsrAsT1 TAsr 特点：“大转”+“小转”

5.准对角矩阵：设A1,A2,,As都是方阵, 记

A1A1,A2,,As)

Adia(g AsA2

性质：(1)detA(detA1)(detA2)(detAs)

(2)A可逆Ai(i1,2,,s)可逆

(3)Ai(i1,2,,s)可逆A1A111A2 As1500A1

例2 A031O021A111

AOO A20015O0 111A2023AO1M

例3 设Amm与Bnn都可逆, Cnm, M, 求． CB 解 detM(detA)(detB)0M可逆

X1

M1X3X2 , X4AOX1CBX3X1X2X3X4X2EmX4OA1OBCAB111O EnAX1EmAXO2



CX1BX3OCX2BX4En

M

1A1O 11BCAB课后作业：习题二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

线性代数电子教案LA31B

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2341, b例3 求解Axb, A2446121258 32345345112行~00222解 A2446822212123001234512012行 0011100111 行~ranAkranAk24Axb有无穷多解x22x2x4同解方程组：1x4x31x1......

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