线性代数电子教案LA31B_免费线性代数电子教案

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第三章

矩阵的初等变换

§3.1 矩阵的秩

1.子式：在Amn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k2个数按照原来的相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作Dk．

k

对于给定的k, 不同的k阶子式总共有CkmCn个．

2.矩阵的秩：在Amn中，若

(1)有某个r阶子式Dr0；

(2)所有的r1阶子式Dr10（如果有r1阶子式的话）．

称A的秩为r, 记作rankAr, 或者 r(A)r．规定：rankO0

性质：(1)rankAmnmin{m,n}

A

(2)k0时rank(kA)rankATrankA

(3)rankAr

(4)A中的一个Dr0rankAr

(5)A中所有的Dr10rank8223 例1 A212212, 求r(A)． 3141 解

位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式D223300

212

计算知, 所有的3阶子式D30, 故r(A)2． [注] Amn, 若rankAm, 称A为行满秩矩阵；

若rankAn, 称A为列满秩矩阵．

Ann, 若rankAn, 称A为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）；

若rankAn, 称A为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．

§3.2 矩阵的初等变换

1.初等变换

行变换

列变换

① 对调

rirj

cicj

② 数乘(k0)kri kci

③ 倍加 rikrj cikcj

Amn经过初等变换得到Bmn, 记作AmnBmn．

2.等价矩阵：若AmnBmn, 称Amn与Bmn等价, 记作AmnBmn．

(1)自反性：AA

(2)对称性：AmnBmnBmnAmn

(3)传递性：AmnBmn, BmnCmnAmnCmn

定理1 AmnBmnrankArankB．

1次有限次kranBk．

证

只需证明AmnBmnranAkr, 仅证行变换之(3)的情形：

设ranAirikrji

Aj{m,n}, 则有

(1)若rminkjB

jB)(B)(A)

Dr(1不含ri：Dr1Dr10

B)(B)(A)(A)

Dr(含, 不含：rDDkDrir1r1r10 1j 2

D(B)r1含ri, 且含rj：D(B)r1倍加A)Dr(10

B)krranAk

故B中所有的r1阶子式Dr(10ranBrikrjkranBk, 于是可得rankArankB．

BAranA

(2)若rm或者rn, 构造矩阵

AOBO

A1, B1 OOOO(m1)(n1)(m1)(n1)

由(1)可得A1B1rankA1rankB1

ranAk1ranAkkranBk ranAranBk1ranBkrikrj

其余情形类似．

8223 例2 A212212, 求r(A)． 314166140913行0644, 故r(A)2．

解

A064431400100行14103213行

行最简形：A012323012323B

00000000行1000

标准形：A0100H

0000行与列

定理2 若rankAmnr(r0), 则00b1i1行

Ab1i2b2i1b1irb2irbrir00***B：行阶梯形 00

[i1][i2][ir]

00100*10*行

A1*H：行最简形

0000E 定理3 若rankAmnr(r0), 则ArO 推论1 若Ann满秩, 则AEn．

ArankB．

推论2 AmnBmnrankO, 称为A的等价标准形． O

§3.3 解线性方程组的消元法

2x1x23x31

例如

4x12x25x342x2x3612x1x23x31(2)2(1)4x2x32

(3)(1)x2x35(1)(2)(3)(4)(5)(6)2x1x23x31(5)4(6)x2x35

(5)(6)3x318x19(8)

x21

x6(9)3(7)解线性方程组的初等变换：(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程

(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程

用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：

31213121行0

Ab42544120261152031921100行0101

0115031800016行

a11a21

方程组：

am1a12a22am2a1na2namnx1b1xb22

或者 Axb xnbm~

增广矩阵：AAb

kr, 且A的左上角r阶子式Dr0, 则

设ranA10行~

A00000b1,r1b1n10b2,r1b2n000001br,r1brn0000d1d2dr： 行最简形 dr10

Axb的同解方程组为

x1b1,r1xr1b1nxnd1xb22,r1xr1b2nxnd2



(3.4)xbr,r1xr1brnxndrr0dr1 5

~

若dr10, 则方程组(3.4)无解：rankAr1rrankA ~

若dr10, 则方程组(3.4)有解：rankArrankA

(1)rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1, x2d2, …, xndn 是其唯一解

(2)rn时, 方程组(3.4)成为

x1d1b1,r1xr1b1nxnxdb222,r1xr1b2nxn



xrdrbr,r1xr1brnxn

一般解为

x1d1b1,r1k1b1nknrxdb22,r1k1b2nknr2

xrdrbr,r1k1brnknr

xk1r1knrxn

其中k1,k2,,knr为任意常数．

~

定理4 Amn, AAb

~

(1)Axb有解rankArankA；

(2)Axb有解时, 若rankAn, 则有唯一解；

若rankAn, 则有无穷多组解．

定理5(1)Amnx0有非零解rankAn；

(2)Annx0有非零解detA0．

课后作业：习题三

1, 2, 3, 4

线性代数电子教案LA32B

2341, b例3 求解Axb, A2446121258 32345345112行~00222解 A2446822212123001234512012行 0011100111 行~ranAkranAk24Axb有无穷多解x22x2x4同解方程组：1x4x31x1......

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§1.4 行列式的性质 a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD．性质1 设Dan1anna1nann证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则b11bn1 DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn1nb(p12pn)nn(1)apapp11(22apnnD1p2pn)ai1a......

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6.伴随矩阵：A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij．a11a21 Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n， A*12annA1nA21A22A2nAn1An2Ann重要性质：AA*A*A(detA)E7.共轭矩阵：复矩阵A(aij)mn的共轭......