线性代数电子教案LA11B_免费线性代数电子教案

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线性代数讲稿

讲稿编者：使用教材：《线性代数》

教学参考：《线性代数典型题分析解集》张 凯 院

西北工业大学出版社 西工大数学系编 西北工业大学出版社 徐 仲 等编

第一章

n阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素p1,p2,,pn构成的不同排列有n!种．

解 在n个元素中选取1个

n种取法

在剩余n1个元素中选取1个

n1种取法

在剩余n2个元素中选取1个

n2种取法

„„„„„„

„„„„

在剩余2个元素中选取1个

2种取法

在剩余1个元素中选取1个

1种取法

------------------

总共n!种取法

2．标准排列：n个不同的自然数从小到大构成的排列．

n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

3．逆序数：

(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

(2)排列p1p2pn中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作(p1p2pn)．

算法：固定i(2,,n), 当ji时，满足pjpi的“pj”的个数记作i（称为pi的逆序数）,那么(p1p2pn)2n．

例2 排列6372451中, 2710322614．

例3 排列13(2n1)(2n)(2n2)42, 求逆序数．

解

记作p1p2pnpn1pn2p2n1p2n

20, ,n10

n2221, n3422, „, 2n2(n1)

2[12(n1)]n(n1)

4．奇偶性：排列p1p2pn

(p1p2pn)奇数时, 称为奇排列；

(p1p2pn)偶数时, 称为偶排列．

5．对换：

相邻对换：p1pipi1pnp1pi1pipn

一般对换：p1pipjpnp1pjpipn(ij)

定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．

证

先证相邻对换：(1)a1alabb1bm

(2)a1albab1bm

ab：对换后a增加1, b不变, 故t2t11；

ab：对换后a不变, b减少1, 故t2t11．

所以t2与t1的奇偶性相反．

再证一般对换：(1)a1alab1bmbc1cn

(2)a1alb1bmabc1cn

(3)a1albb1bmac1cn

(1)(2)经过m次相邻对换

(2)(3)经过m1次相邻对换

(1)(3)经过2m1次相邻对换, 所以t3与t1的奇偶性相反．

推论 奇排列标准排列, 对换次数为奇数．

偶排列标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 n阶行列式的定义

1．二阶： a11a21a11a12a22a12a22a32a11a22a12a21

a13a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a33 2．三阶： a21a

a11a23a32a12a21a33a13a22a31

(1)乘积中三个数不同行、不同列：a1p1a2p2a3p3

行标(第1个下标)：标准排列 123

列标(第2个下标)：p1p2p3是1,2,3的某个排列(共6种)

(2)正项：123, 231, 312为偶排列

负项：132, 213, 321为奇排列

a11a12a22a32a13a23(1)a1p1a2p2a3p3, (p1p2p3)．

(p1p2p3)a33

于是 a21a31 3．n阶：n2个数aij(i,j1,2,,n), 称

a11a12a22a1na2n 

Da21an1an2ann

为n阶行列式, 它表示数值

(p1p2pn)(1)a1p1a2p2anpn, (p1p2pn)

其中, 求和式中共有n!项．a11a12a22a1na11a1,n1a1n

例3 计算D1a2na21a2,n1, D2annan1.解 D1中只有一项a11a22ann不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

(12n)0, 故D1(1)a11a22anna11a22ann．

D2中只有一项a1na2,n1an1不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

(n21)12(n1)

故D2(1)a1na2,n1an1(1)n(n1)2n(n1)2a1na2,n1an1．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号(1)

特例：

n(n1)2．

1

1212n，2(1)n(n1)212n

na11a21

定理2 Dan1a12a22a1nna2n(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn

(2)(q1q2qn)an2ann(p1p2pn)

证

由定义知

D(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

(1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(q1q2qn)a1p1a2p2anpn

(3)5

① (q1q2qn)偶数

q1q2qn12n

偶数次对换

12np1p2pn

偶数次对换

所以(p1p2pn)偶数

② (q1q2qn)奇数

q1q2qn12n

奇数次对换

12np1p2pn

奇数次对换

所以(p1p2pn)奇数

因此(1)(q1q2qn)(1)(p1p2pn), 由(3)可得

(1)(q1q2qn)aq11aq22aqnn(1)(p1p2pn)a1p1a2p2anpn

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

课后作业：习题一

1，2，3

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第三章矩阵的初等变换§3.1 矩阵的秩 1.子式：在Amn中, 选取k行与k列, 位于交叉处的k2个数按照原来的相对位置构成k阶行列式, 称为A的一个k阶子式, 记作Dk．k对于给定的k, 不同......

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2341, b例3 求解Axb, A2446121258 32345345112行~00222解 A2446822212123001234512012行 0011100111 行~ranAkranAk24Axb有无穷多解x22x2x4同解方程组：1x4x31x1......

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线性代数电子教案LA12B

§1.4 行列式的性质 a11a1na11an1, DΤ, 则DΤD．性质1 设Dan1anna1nann证 令bijaji(i,j1,2,,n), 则b11bn1 DΤ(1)b1p1b2pbp2bnpn1nb(p12pn)nn(1)apapp11(22apnnD1p2pn)ai1a......

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6.伴随矩阵：A(aij)nn, detA中元素aij的代数余子式为Aij．a11a21 Aan1a12a22an2a1nA11Aa2n， A*12annA1nA21A22A2nAn1An2Ann重要性质：AA*A*A(detA)E7.共轭矩阵：复矩阵A(aij)mn的共轭......