线性代数电子教案LA32B_免费线性代数电子教案

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2341, b

例3 求解Axb, A2446121258 32345345112行~00222

解 A2446822212123001234512012行

0011100111 0000000000行~

ranAkranAk24Axb有无穷多解

x22x2x4

同解方程组：1

x4x31x1x2

一般解：x3x422k1k2k1

（k1,k2为任意常数）

1k2k21 2111

例4 求解Axb, A111, b111~

解 A11行1行111112111111001 0102111111112001(1)行1010

11001111101011100

(1)1

x21x1

同解方程组：x3(1)x1

x(1)(2)x14 7 x1x2

一般解：x3x4k1k

（k为任意常数）

(1)k(1)(2)k

(2)1

同解方程组：x11(x2x3x4)

x1x2

一般解：x3x41k1k2k3k1k2k3

（k1,k2,k3为任意常数）

例5 讨论方程组Axb何时有唯一解, 无穷多解, 无解?

1

A1134 21, b114

解

计算可得 detA(1)

(1)0且1：根据Cramer法则, 方程组有唯一解．

(2)0：

1~

A1013110行000140114011110行0111430003 4313~k2, rankA3, 故方程组无解．

ranA

(3)1且0：

1131131012行行~

A1214001001 11141114111421012101行

01010101111400021行 8 1~时, rankA3, rankA2, 故方程组无解． 21~

时, rankArankA23, 故方程组有无穷多解．

§3.4 初等矩阵



定义

对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵． [注] 对单位矩阵进行一次初等列变换, 相当于对单位矩阵进行一次

同类型的初等行变换．因此, 初等矩阵可分为以下3类：

E(i)01rirjΔE(i,j)

1.EE10(j)EE

2.EkkriΔ

(k0)E[i(k)]E(i)ΔE[i,j(k)] (j)E(i)ΔE[i,j(k)] (j)EE1krikrj

3.EE1E1kcjkci

EE1

Amna11a21am1a12a22am21a1nia2n, Amn1,,i,,j,,n jamnm 9

1j

性质1 Em(i,j)A, Em[i(k)]Aim1ki, Em[i,j(k)]Ajm1ikj jm

因此可得：对A进行一次初等行变换, 相当于给A左乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一）

性质2 AEn(i,j)1,,j,,i,,n

AEn[i(k)]1,,ki,,j,,n

AEn[i,j(k)]1,,i,,jki,,nB3

注意：AB3

因此可得：对A进行一次初等列变换, 相当于给A右乘一个

同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二）

性质3 detE(i,j)1, [E(i,j)]1E(i,j)

detE[i(k)]k0, [E(i(k))]1E[i()]

kcjkciΔ

detE[i,j(k)]1, [E(i,j(k))]1E[i,j(k)]

定理7 Ann可逆A可以表示为有限个初等矩阵的乘积．

t0, 则A满秩AEn, 故存在初等矩阵

证

必要性．已知deA

P1,,Ps及Q1,,Qt, 使得

1

PsP1AQ1QtEn, AP11Ps1Qt1Q1

而Pi1与Qj都是初等矩阵．

充分性．显然成立．

矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：

deAtnn0AP1P2Ps

（Pi都是初等矩阵）

Ps1P21P11AE111

1

PPEEs2P1A111PsP2P1EAA1



由此可得：对n2n矩阵AE 施行“初等行变换”，当前n列

（A的位置）成为E时，则后n列（E的位置）为A1．

123

例6 A212, 求A1． 134231001231001行

解 AE212010034210 111011340010231001013021行01

0111011101303421000151行021111101002行0106

01061414513001513001行

故A1112． 614513, 求A1． 1a11a

例7 A2a3a1aa21a

解 AE2a3a

01aa2001a***011

00

01

依次作初等行变换 r4ar3, r3ar2, r2ar1可得

10

AE000100001001000a1000a1100a00 01

故 A11a1． a1a1

定理8 设Amn,Bmn, 则AB

存在可逆矩阵Pmm和Qnn, 使得PAQB．

证

必要性．已知AB, 则存在m阶初等矩阵P1,,Ps和n阶初等

矩阵Q1,,Qt, 使得PsP1AQ1QtB, 令

PP1,,Ps , QQ1,,Qt

B．

则有PAQB, 则由定理7知, P和Q都可以表示为

充分性．已知PAQ

有限个初等矩阵的乘积, 即

PP1,,Ps , QQ1,,Qt

故PsP1AQ1QtB, 也就是AB．