不等式选讲+推理证明测试题含答案（推荐）_推理与证明单元测试题

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不等式选讲及推理证明测试题

一、选择题

1、不等式

2x

3的解集是（2)

3)(0,)

A.(,)B.(

323,0)(0,)C.(,D.(

23,0)

2、设P

Q

RP,Q,R的大小顺序是（）A．PQRB．PRQC．QPRD．QRP3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”

的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4、设x0，y0，A

xy1xy，B

x1x



y1y，则A、B的大小关系（）

A．ABB．ABC．ABD．不能确定

5、已知不等式(xy)(

x

11y

则实数a的最大值为)a对任意正实数x,y恒成立，（）

A．2B．4C．2D．166、不等式352x9的解集为（）

A．[2,1)[4,7)B．(2,1](4,7] C．(2,1][4,7)D．(2,1][4,7)

7、已知0a,b1，用反证法证明a(1b),b(1a)不能都大于时，反设正确的41是（）

A．a(1b),b(1a)都大于

14，B．a(1b),b(1a)都小于

C．a(1b),b(1a)都大于或等于D．a(1b),b(1a)都小于或等于

8、如果a0,且a1,Mloga(a31),Nloga(a21),那么（）A．MNB．MNC．MND．M,N的大小无法确定

9、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）

A．2k1B．2(2k1)C．

2k1k

1D．

2k2k111、定义f(M)(m,n,p)，其中M是△ABC内一点，m、n、p分别是△MBC、

△MCA、△MAB的面积，已知△ABC中，ABAC1

2,x,y)，则

BAC30，f(N)（1x



4y的最小值是（）

A．8B．9C．16D．1812、设x0,y0,且x2y24,xy4(xy)10,则的最值情况是（）

A．有最大值2，最小值2(22)B．有最大值2，最小值0

C．有最大值10，最小值2(22)D．最值不存在二、填空题

13、不等式|23x|7的解集为________________

14、函数y3x546x的最大值为

15、若不等式mx2mx10对一切xR都成立，则m的取值范围是

16、如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则

SOM1N1SOM2N

2=

OMOM

·

ONON

；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR

上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是

三、解答题

17、解不等式 |x3||x5|

418、已知adbc，求证：(a2b2)(c2d2)(acbd)

219、若x，y都是正实数且x＋y>2，用反证法证明：一个成立．

20、设函数f(x)|2x3|2（1）解不等式f(x)3x（2）若关于x的不等式

取值范围

21、已知等式122232n(n1)2

n(n1)1

2(anbnc)

1xy

2与

1yx

2中至少有

f(x)1|xm

m

|的解集为R，求实数m 的求是否存在常数a,b,c使上述等式对一切正整数n都成立？证明你的结论

22、已知函数f(x)log2(ax22x3a)

（1）当a1时，求该函数的定义域和值域；

（2）如果f(x)1在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围。

实验班答案

13、{x|x3或x14、3VOP1Q1R115、VOP2Q2R

2

OP1OQ1OR1OP2OQ2OR217、|x3||x5|

4x53x5x

3或或等价于

x3x54x3x54x3x54

解不等式的

18、法一：

x

53x5x3或或

x624x

2即{x|x6或x2}

(ab)(cd)(acbd)

22222

=a2c2b2c2b2d2a2d2a2c2b2d22acbd

=b2c2a2d22acbd(bcad)2 因为adbc所以(bcad)20 所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2 法二：

由柯西不等式知，构造两组数

ac

bd

acbd

所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2当即adbc时等号成立

因为adbc所以取不到等号所以(a2b2)(c2d2)(acbd)219、假设

1xy1y

都不小于2 x

1yx



2即

1xy

2且

由于x,y为正实数

所以1x2y且1y2x把两式相加2xy2y2x 即2yx这与x＋y>2矛盾所以假设不成立 所以

20、解：|2x3|23x

2

2x35x2x

3{x|8x 

32x35xx8



1xy

2与

1yx

2中至少有一个成立

等价于|2x3|5x

2关于x的不等式即

f(x)1|xm

m

|的解集为R

|2x3|11|xm

||xm

m|2

|恒成立

||xm52||m

即 |x而|x

m

恒成立即(|x

32xm

m

|)min2

||xmm||xm

m4|

所以|m2m4|2解得(-,-2][-1,2][3,)

abc24a3

21、把n=1,2,3代入得方程组4a2bc44，解得b11，9a3bc70c10

猜想：等式122232n(n1)2立

n(n1)1

2(3n11n10)

对一切nN都成下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立

（2）假设n=k时等式成立，即122232k(k1)2则

1223k(k1)(k1)(k2)

k(k1)1212

(3k5)(k2)(k1)(k2)

[3(k1)11(k1)10]

k(k1)12

(3k11k10)

k(k1)

(k1)(k2)

(3k11k10)(k1)(k2)[k(3k5)12(k2)]

(k1)(k2)

所以当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），对nN等式都成立

22、（1）当a1时,f(x)log2(x22x3)由x22x30知定义域为{x|1x3}

设f(x)log而

t

tx2x3

tx2x3(x1)44

log2tlog242值域为(,2]

（2）f(x)1在区间[2,3]上恒成立

即log2(ax22x3a)1在区间[2,3]上恒成立即ax22x3a2在区间[2,3]上恒成立 所以a

22x

x3

22x

设g(x)2

x3

在区间[2,3]上恒成立在区间[2,3]上a（2(x1)(x1)

22xx3)max

2

g(x)

22xx3



2(x1)2



(x1)

2x1

所以a

不等式、推理证明测试题

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