命题与证明（精选8篇）_证明与命题
命题与证明（精选8篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“证明与命题”。
第1篇：命题与证明5
14.2 命题与证明
一、教学目标
(一)知识目标
1.了解证明以及证明的必要性.
2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明.
3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言.
4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题.
(二)能力目标
1.培养学生规范的数学解题能力.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
(三)情感目标
培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神.
二、教学重点
将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用.三、教学难点
将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”.六、教学过程：
(一)引入
一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
我们曾经计算过三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和，得到这样一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这个规律呢?
(二)新课
由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢?那就是证明.
根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明.例1 证明：两直线平行，同旁内角互补.
分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠1+∠2=180°”，同时要画出图形.
图
1已知：如图1，直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B.求证：∠1+∠2=180°.
证明：略
由例1可知以下两点.
1.文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形.
2.证明的一般过程：由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程.
注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理.例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等.引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明
思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点.求证：BE=CF.
证明：略
例3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三
角形全等.
分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分
析证明思路，最后写出证明的过程.
图 3
已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=
A′C′，CD⊥AB于D，C′D′⊥A′B′于D′，且CD=C′D′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
分析：(1)Rt△ABC与Rt△A′B′C′中已满足全等的什么条件?(AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°)
(2)还需补充什么条件两三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或∠B=∠B′，或∠A=∠A′)
(3)选择哪个条件?(∠A=∠A′)
(4)为什么?(已有条件AC=A′C′，CD=C′D′)
即先证明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，再证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.请小组同学共同完成证明过程.(略)
文字命题证明的一般过程：
首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程.
练习教材第96页练习第1题.
例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题.
分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明.
举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可.
解 设两个锐角都为30°，则两个锐角的和为60°，不等于90°，所以这个命题是假命题.
练习教材第96页练习第2题.
(三)小结
1.证明的一般步骤；
2.用举反例的方法证明或判断简单的假命题.
(四)作业
第2篇：命题证明教学案
慈晖学校数学教学案
年级：
初二年级
课题：命题的证明
课型：新授课
备课：初二数学组
执笔人：陈辉国
审核人：许鹏
执行时间：2013年 5 月7日 学习目标： 结合实例意识证明的必要性，培养说理有据，有条理的表达自己想法的良好意识，了解证明的步骤和格式。
学习重点：掌握如何举反例
学习难点：理解证明的步骤和格式，体会证明的严密性。
学法指导： 通过一个具体的选择题实例搞清楚如果想要排除一个答案选项只需举一个符合题设(或已知条件)而不符合结论的实例。
学习过程：
一、课前复习及检测：(在15分钟内完成，相信自己能行！)
1、课前复习
① 什么是命题？什么叫公理？什么是定理？这三者之间有什么关系？
② 常见的公理有哪些？你能说出多少条？
③ 证明一个真命题的步骤是什么？
2、复习检测
2.1、下列命题中，属于公理的是（）
A、同角的补角相等
B、邻补角的平分线互相垂直
C、两点之间，线段最短
D、直角三角形的两个锐角互余
2.2、下列说法中，错误的是（）
A、所有的定义都是命题
B、所有的定理都是命题
C、所有的公理都是命题
D、所有的命题都是定理 2.3、在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是（）A、公理、定理
B、定义、公理、定理
C、公理、定理、题设(已知条件)
D、定义、公理、定理、题设(已知条件)
二、合作探究（在25分钟内完成）学点一
假命题的证明
例
1、试判断“衡阳人是耒阳人。”这句话是否是命题？是真命题还是假命题？如果是假命题请证明？
分析：首先可以肯定这句话是命题，因为做出了判断。那么它到底是真命题还是假命题需要用证明。如果是真命题，就需要用科学的逻辑推理来证明；如果是假命题，就需要通过举反例的(举一个适合题设但是不符合结论的例子)方法来证明。证明：是假命题，如衡山人是衡阳人，但是衡山人不是耒阳人。
学点二
真命题的证明 命题证明的步骤：
到处留心皆学问 第 1 页，共 2 页 慈晖学校数学教学案
1、根据条件，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
2、结合图形，写出 已知、求证；
3、分析因果关系，找出由已知推出结论的途径；
4、有条理地写出证明过程(每一步推理要有依据)例
2、试说明命题“一条直线截两条平行直线所得的内错角相等”是真命题。思考1：当所证问题是文字命题时，怎样把该命题转化为几何命题？
思考2：判定一个命题是真命题的步骤是什么？
已知：
求证：
证明：
三、当堂训练(在15分钟内完成)
1、（★）下列语句不是命题的是（）
A、所有平角都相等
B、钝角大于90° C、两点确定一条直线 D、作射线AB2、（★★）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明。
①一个角的补角必是钝角。②如果|a|=|b|,那么a=b
3、（★★★）证明：内错角相等，两直线平行。已知：
求证：
证明：
四、老师点评(2分钟)
五、学习反思(3分钟，学生回答1)
1、本节课，我学会了什么？还有什么疑惑？
2、本节课教学后，学生还有哪些疑惑？还有哪些需要补充完善？
到处留心皆学问 第 2 页，共 2 页
第3篇：命题定理证明教案
5、3命题定理证明教案
学习目标：
（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．
（2）知道什么是真命题和假命题．
(3）理解什么是定理和证明．
（4）知道如何判断一个命题的真假．
学习重点：
对命题结构的认识．理解证明要步步有据
一、自学基础：（看书20页---22页）
1、对一件事情___________________的语句，叫做命题。
2、命题由______和________组成。__________是已知事项，__________是由已知事项推出的事项。
3、命题常可以写成__________________的形式。“_______”后接的部分是题设，“________”后面接的部分是结论。
4、_________________叫真命题，_______________叫假命题。
二、探究新知
问题1 什么叫做命题？
像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.问题2思考命题是由几部分组成的？
命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
问题3 下列语句是命题吗？如果是，请将它们改 写成“如果„„，那么„„”的形式.问题4 什么样的命题叫做真命题？什么样的命题叫做假命题？ 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
问题 请同学们举例说出一些真命题和假命题． 问题5公理定理
有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，这样的真命题叫做公理。
有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理。问题6证明
三、课堂小结
四、当堂检测
五、布置作业
第4篇：《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案
教学目标
知识与技能：
1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法；
2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性.过程与方法：
1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；
2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.情感、态度与价值观：
初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点
找出命题的条件（题设）和结论； 知道什么是公理，什么是定理.难点
命题概念的理解； 理解证明的必要性.教学过程
【一】
一、复习引入
BADC教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确.1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2、两直线平行，同位角相等；
3、同旁内角相等，两直线平行；
4、平行四边形的对角线相等；
5、直角都相等.二、探究新知
（一）命题、真命题与假命题
学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论.有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.”
（二）实例讲解
1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论.学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题.（1）对顶角相等；
（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案.（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题.（2）条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a=c；这是假命题.（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等.这是真命题.（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题.（三）假命题的证明
教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”.例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可.三、随堂练习
课本P55练习第1、2题.四、总结
1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？
2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.【二】
一、复习引入
教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知
（一）公理
教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们已经知道下列命题是真命题：
一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 全等三角形的对应边、对应角相等.在本书中我们将这些真命题均作为公理.（二）定理
教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子： 当n=1时，（n2-5n+5)2=1； 当n=2时，（n2-5n+5)2=1； 当n=3时，（n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题吗？
［答案：不正确，因为3＞-5，但32＜（-5）2］
教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.(三）例题与证明
例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余.教师板书证明过程.教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习
课本P58练习第1、2题.四、课时总结
1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理
第5篇：命题、定理和证明教案
命题、定理、证明
重点：命题、定理、证明的概念 难点：命题、定理、证明的概念
一、板书课题，揭示目标
同学们，到现在为止，我们已经学习了一些简单的性质、判定、定义，这些命题都是真命题，那什么是命题呢？我们今天就来学习5.3.2命题、定理.本节课的学习目标是：（请看投影）
二、学习目标
1、理解命题、定理、证明的概念.2、会判断一个命题是真命题还是假命题.三、指导自学
认真看课本（P21-22练习前）.1结合例子理解命题的定义，会把一个命题写成“如果„„那么„„”的形式;○2理解真命题、假命题的概念并会判断一个命题的真假.○如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.6分钟后，比谁能正确地做出检测题.三、先学
1、教师巡视，督促学生认真紧张地自学
2、学生练习：
检测题 P22 练习 补充题：
1、下列是命题的是（）1对顶角相等.○2答案A是正确的.③若ａ＝ｂ，则ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ．④画射○线BC.⑤这条边长等于多少？
2、下列命题是真命题的是（）1同角的补角相等。○2相等的角是对顶角。○③互补的角是邻补角。
④若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3 分别让两位同学上堂板演，其余同学在位上做。
四、更正、讨论、归纳、总结
1、自由更正
请同学们认真看堂上板演的内容，如果有错误或不同解法的请上来更正或补充。
2、讨论、归纳 评讲2（1）：命题假设的对吗？为什么？怎样找一个命题的假设？引导学生回答：“如果”后接的部分是假设（师板书）
（2）命题的题设正确吗？为什么？他没有“如果„„那么„„”的形式该怎么办呢？如何把命题写成“如果„„那么„„”的形式，引导学生回答：题设——已知事项;结论——是由已知事项推出来的事项。
评补充题：
1、答案正确吗？为什么？引导学生回答：命题的条件是什么？（1）命题必须是一个完整的句子.（2）对某件事做出了判断。
2、“同位角相等“是真命题吗？为什么？引导学生画图说明：
五、课堂作业（见测试题）
六、教学反思
第6篇：命题与证明知识讲解
《命题与证明》知识讲解
宋老师
【学习目标】
1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会判断一个命题的真假；
2．了解综合法的证明步骤和书写格式.3．运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.4.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.会判断一个命题的逆命题的真假.【要点梳理】
要点一、定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.命题：判断一件事情的句子叫命题．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.要点二、证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；
2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.写出证明过程.要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.要点三、三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
(2)三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
(3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（4）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 要点四、互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆命题的真假.证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了.要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可.【典型例题】
类型一、逆命题与逆定理
1.下列命题是真命题的是（）A．如果|a|=1，那么a=1 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．如果a为实数，那么a是有理数 D．相等的角是对顶角.；
【答案】B.【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；两个直角三角形中的两个直角相等，但不是对顶角，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；
【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：
【变式】（2016春?东平县期中）下列句子中，不是命题的是（）A．三角形的内角和等于180° B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的平行线 D．两点确定一条直线 【答案】C．
C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；
A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题． 故选C．
2.下列命题中，逆命题正确的是 A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余
C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等 【答案】B.【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.举一反三：
【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．(1)对顶角相等；
(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；
(4)两条直线不平行，则一定相交；
【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；
(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；
(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；
3.对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，请你以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出两个正确的命题．
【思路点拨】同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由③⑤得到②；由①②得到④． 【答案与解析】
解：如果③a⊥b，⑤a⊥c，那么②b∥c； 如果①a∥b，②b∥c，那么④a∥c．
【总结升华】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命题分为题设与结论两部分．也考查了平行线的性质．
类型二、证明举例
（1）平行线的性质与判定进行几何证明：
4.（2015春?姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．已知AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF，求证：∠1=∠2． 【思路点拨】由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，即有∠1=∠2．
【答案与解析】
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠CB，又∵BE∥CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，∴∠1=∠2．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：
【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． 【答案】∠A=∠F．
证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE； ∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC； ∴∠A=∠F．
（2）与三角形有关的几何证明：
5.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°．又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°-∠HCI=∠CIH，所以∠BID=∠CIH． 【答案与解析】
证明：∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，111∴∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB．
222∴∠BAD+∠ABI+∠HCI 111=∠BAC+∠ABC+∠ACB 2221=（∠BAC+∠ABC+∠ACB）21=×180° 2=90°．
∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI． ∵IH⊥BC，∴∠IHC=90° ∴90°-∠HCI=∠CIH，∴∠CIH=∠BAD+∠ABI ∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）
∴∠BID=∠CIH．
【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.(3)文字命题的证明：
6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.【思路点拨】先画图，设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求，原三角形分成三个大小不等的三个三角形，三个三角形的面积和与原三角形的面积相等，即S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC；可得h=PE+PF+PD.【答案与解析】
已知：如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC．垂足分别为E、G、F，求证：PE+PG+PF为定值.证明：设等边三角形△ABC的边长为a，面积为S．
连结PA、PB、PC，则
11S△APB=a?PE，S△CPB=a?PF，S△221=a?PG，APC2于是S△APB+S△CPB+S△APC=即
111a?PE+a?PF+a?PG，222111a?PE+a?PF+a?PG=S，2222SPE+PF+PG=，为定值．
a【总结升华】对于文字命题的证明,要根据文字所描述的内容写出已知和求证，然后证明.
第7篇：命题与证明知识讲解
命题与证明--知识讲解
撰稿：张晓新 审稿：孙景艳
【学习目标】
1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据； 2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；
3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明.【要点梳理】
要点一、命题、公理、定理、推论 1.命题
判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．
命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.要点诠释：
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 2.公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据． 3.定理
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据． 要点诠释：
也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.4.推论
由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.要点二、逆命题和逆定理 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.要点三、演绎推理 演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.要点诠释：
演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明． 要点四、三角形内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.要点诠释：
三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.【典型例题】 类型一、命题
1.判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？
(1)对顶角相等；
(2)画一个角等于已知角；
(3)两直线平行，同位角相等；(4)a，b两条直线平行吗?(5)鸟是动物；(6)若a4，求a的值；(7)若ab，则a=b． 【答案与解析】
句子(1)(3)(5)(7)对事情作了判断，其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.222
【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：
【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a＜b，则b＜-a；(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2x30；(6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题；（3）（5）不是命题． 22.下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|=1，那么a=1 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．如果a为实数，那么a是有理数
D．有两边和一角相等的两个三角形全等；
【答案】B
【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；有两边和夹角相等的两个三角形全等，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确； 【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：
【变式】下列命题中，真命题的个数有（）
①对顶角相等
②同位角相等
③4的平方根是2
④若a＞b，则-2a＞-2b A．3个
B．1个
C．4个
D．2个 【答案】Ｂ
３.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；
(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；
(4)同角的余角相等； 【答案与解析】
（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
4.下列命题中，逆命题正确的是（）
A.对顶角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.全等三角形面积相等 D.全等三角形对应角相等 【答案】B
【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形.【总结升华】判断逆命题是否正确，能举出反例即可.举一反三：
【变式】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假．
(1)对顶角相等；
(2)两直线平行，同位角相等；(3)若a=0，则ab=0；
(4)两条直线不平行，则一定相交；
【答案】(1)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；
(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；
(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；
类型二、证明举例
（1）平行线的性质与判定进行几何证明：
5.已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？
【答案与解析】
解：CD⊥AB；理由如下： ∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB ∴CD⊥AB．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：
【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． 【答案】∠A=∠F．
证明：∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，∴∠DGF=∠EHF，∴BD∥CE； ∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴DF∥AC； ∴∠A=∠F．
（2）与三角形有关的几何证明：
交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
6.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线
【答案与解析】
∵AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，∴∠BAD=111∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB． 222∴∠BAD+∠ABI+∠HCI 111∠BAC+∠ABC+∠ACB 2221=（∠BAC+∠ABC+∠ACB）21=×180° 2==90°．
∴∠BAD+∠ABI=90°-∠HCI． ∵IH⊥BC，∴∠IHC=90° ∴90°-∠HCI=∠CIH，∴∠CIH=∠BAD+∠ABI ∵∠BID=∠BAD+∠ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）∴∠BID=∠CIH．
【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.（3）与全等三角形有关的几何证明
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【答案与解析】
数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AC=2DC，∵AC=2AB，∴AB=DC，在△EAB和△EDC中
AEDEEABEDC ABDC∴△EAB≌△EDC，∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．
【总结升华】本题是先猜想在证明，主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等，而当有等腰三角形出现时，相等的两腰通常作为判定三角形全等的一组条件来用，从而是问题简单化.举一反三：
【变式】
如图，在△ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD与BE交于点P．试证：（1）CD=BE；（2）∠BPC=90°．
【答案】 证明：（1）在等腰直角△ABD和等腰直角△ACE中 AD=AB，AC=AE，∠BAD =∠EAC=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠EAC∠BAC ∴∠DAC =∠BAE． 在△DAC和△BAE中
ADABDACBAE ACAE∴△BAE≌△DAC ∴CD=BE．
（2）由△BAE≌△DAC得到∠ABE=∠ADC． ∵∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADC+∠ABD+∠BDC=90°=∠ABE+∠ABD+∠BDC，即∠DBP+∠BDC=90°． ∴∠BPC=90°．
（4）添加辅助线的方法进行几何证明：
8、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.AEFBDC
【答案与解析】BE＋CF＞EF；
证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG ∵D是BC中点，∴BD＝CD 又∵DE⊥DF
EDED在△EDG和△EDF中EDGEDF
DGDF∴△EDG≌△EDF（S.A.S）∴EG＝EF
在△FDC与△GDB中
CDBD12 DFDG∴△FDC≌△GDB(S.A.S)∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF 【总结升华】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.(5)文字命题的证明：
9、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值.【答案与解析】
已知：如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC． 垂足分别为E、G、F，求证：PE+PG+PF为定值.证明：设等边三角形△ABC的边长为a，面积为S． 连结PA、PB、PC，111a•PE，S△CPB=a•PF，S△APC=a•PG，222111于是S△APB+S△CPB+S△APC=a•PE+a•PF+a•PG，222111即a•PE+a•PF+a•PG=S，2222SPE+PF+PG=，a则S△APB=故PE+PG+PF为定值.【总结升华】对于文字命题的证明要根据文字所描述的内容自己写出已知和求证，然后在证明.
第8篇：§24.3命题与证明
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§24.3 命题与证明
1.定义、命题与定理
试一试
观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形．
图
24.3.1要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得 以前学过的知识吗？
“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形 的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义（definition）.还可以举出如下的一些定义：
（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．
（2）有六条边的多边形，叫做六边形．
（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．
定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的 事物或名词区别开来．
思 考
试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（2）三角形的内角和是180°；
（3）同位角相等；
（4）平行四边形的对角线相等；
（5）菱形的对角线相互垂直．
根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果„„那么„„”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例
如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．例1 把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果„„那么„„”的形式，并分别指出命题的题设与结论．
解这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axiom）．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的：
（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线
平行；
（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分
别对应相等，那么这两个三角形全等；
（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．
我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．
此外，我们把等式、不等式的有关性质以及等量代换（即在等式或不等式中，一个量用它的等量替代）都作为逻辑推理的依据．
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．
例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．
练 习
1.找出右图中的锐角，并试着对“锐角”写出一个确切的定义
.2.把下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式，并指出它的题设和结论.（1）全等三角形的对应边相等；
（2）平行四边形的地边相等.3.指出下列命题中的真命题和假命题.（1）同位角相等，两直线平行；
（2）多边形的内角和等于180°；
（3）如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等.2.证明
思 考
一位同学在钻研数学题时发现：
2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．
于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论： 从素数2开始，排在前 面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？
如图24.3.2所示，一个同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的 交点都在三角形的内部．于是他得出结论： 任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？
图
24.3.2我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n边形的内角和等于（n－2）×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实．
根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明（proof）．
前面的学习已经告诉我们： 一条直线截两条平行线所得的内错角相等．下面我们运用前面所提到的基本事实，即公理来证明这个结论．
例1 证明： 一条直线截两条平行直线所得的内错角
相等．
已知： 如图24.3.3，直线l1∥l2，直线l3分别和l1、l
2相交于点A、B．
求证： ∠1＝∠3．
证明 因为l1∥l2（已知），所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
图
24.3.3 又∠2＝∠3（对顶角相等），所以∠1＝∠3（等量代换）．
如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”．例如，要证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举一个反例，例如锐角等于30°，钝角等于120°，但它们的和就不等于180°，从而说明这个命题是假命题．
练 习
1.根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
（1）两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；
（2）在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角
形是直角三角形.2.判断“同位角相等”是真命题还是假命是，并说明理由.在以往的学习中，我们已经知道下面的例题所表述的结论
是正确的，现在通过推理的方式给予证明．
例2 内错角相等，两直线平行．
已知：如图24.3.4，直线l3分别交l1、l2于点A、点B，∠
1＝∠2．
求证： l1∥l2．
图
24.3.4证明 因为∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），所以∠2＝∠3（等量代换），所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．
例3 已知：如图24.3.5，AB和CD相交于点O，∠A＝
∠B．
求证： ∠C＝∠D．
证明 因为∠A＝∠B（已知），所以AC∥BD（内错角相等，两直线平行）． 图
24.3.5 所以∠C＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
试一试请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由．已知：如图24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．求证： ∠E＝∠F．证明： 因为CE∥DF（），所以∠1＝∠2（）.在△AFD和△BEC中，因为 图
24.3.6DF＝CE（），∠1＝∠2（），AD＝BC（），所以△AFD≌△BEC（），所以∠E＝∠F（）．
练 习
1.已知：如图，直线AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.（第1题）
（第2题）
2.已知：如图，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求证：OB＝OC.习题24.31.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明.（1）两个锐角的和等于直角；
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.2.把下列命题改成“如果„„那么„„”的形式.（1）三角形全等，对应边相等；
（2）菱形的对角线相互垂直；
（3）三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.证明：平等四边形的两组对边分别相等.（提示：连结AC）
(第3题)（第4题）
4.如图，OA＝OB，PA＝PB，试证明：OP平分∠AOB.5.证明：矩形的两条对角线长相等.(第5题)（第6题）
6.如图，已知：DC＝AB，AD＝BC，点E、F在AC上，AE＝CF.试找出图中所有的全等三角形，并用有关全等三角形的基本事实加以证明.
.cn§24.3 命题与证明1.定义、命题与定理试一试观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形．图24.3.1要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得 以前......
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