倒立摆课程设计_倒立摆课程设计报告

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西北民族大学2012级自动化3班钟小龙

摘 要

倒立摆系统作为一个具有绝对不稳定、高阶次、多变量、强祸合的典型的非线性系统，是检验新的控制理论和方法的理想模型，所以 本文选择倒立摆系统作为研究对象具有重要的理论意义和应用价值。相对于其他研究倒立摆系统的控制方法，Backstepping方法最大的优点是不必对’系统进行线性化，可以直接对系统进行递推性的控制器设计，保留了被控对象中有用的非线性项，使得控制设计更接近实际情况，而且所设计的控制器具有很强的鲁棒性。

本文主要利用Backstepping方法设计了直线型一级倒立摆系统控制器并基于MATLAB/Simulink对系统进行了离线仿真。本文所作的主要工作或要达到的主要目的是:(一)建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，并利用Backstepping方法设计了该倒立摆系统的控制器，然后对闭环系统进行了数值仿真并与其他方法进行了数值仿真分析比较。与当前的倒立摆研究成果相比，具有研究方法新颖、控制效果好的特点。

(二)本文利用所设计的非线性控制器在MATLAB/Simulink环境下对系统进行了离线仿真分析，并与固高公司提供的算法进行了仿真效果比较。

关键词:倒立摆系统，Backstepping, MATLAB/Simulink，实时控制

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目 录

1.倒立摆系统的简介........................................1 1.1倒立摆系统的研究背景..........................................1 1.2倒立摆系统的研究历史、现状及发展趋势..........................2 1.3倒立摆的主要控制方法..........................................4 2.一级倒立摆数学模型......................................6 2.1一级倒立摆系统的组成..........................................6 2.2一级倒立摆系统数学模型的建立..................................7 3.系统控制器的设计和闭环系统的数值仿真....................9 4.直线型一级倒立摆系统的Simulink模型和离线仿真............12 4.1基于线性控制器对线性系统的离线仿真..........................12 4.2基于线性控制器对非线性系统的离线仿真........................15 4.3基于非线性控制器对非线性系统的离线仿真......................16

5.模型的优点.............................................18 6.结论和展望.............................................19 7.参考文献...............................................20

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1.倒立摆系统的简介

1.1倒立摆系统的研究背景

在控制理论的研究及其应用的发展过程中，当一种新的理论产生，它的正确性及实际应用中的可行性都需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，而倒立摆就是这样一个被控制对象。倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强藕合、不稳定的系统，通过对它引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力，而且在倒立摆的控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪性能等许多自动控制领域中的关键问题。因此受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为最具有挑战性的课题之一。对倒立摆系统的研究不仅仅在其结构简单、原理清晰、易于实现等特点，而且作为典型的多变量系统，可采用实验来研究控制理论中许多方面的问题。诸如模型的建立、状态反馈、观测器理论、快速控制理论以及滤波理论等都可以用于这类系统。因此，倒立摆实验模型对现代控制理论的教学来说，自然成为一个相当理想的实验模型，而且也可以作为数控技术应用的典型的对象;另一方面对系统的研究也比较有实用价值，从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多应用，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、机器人双足行走机构、化工过程控制等都属这类问题。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。

除此之外，由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合等特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它们视为研究对象，用它们来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定性和非线性控制领域中的变结构控制、无源性控制、自由行走、非线性观测器、摩擦补偿、非线性模型降阶等控制思想，并且不断从中发掘出新的控制理论和控制方法，相关的成果在航空航天和机器人学方面获得了广阔的应用。可见，对倒立摆系统进行研究既具有意义深远的理论价值，又具有重要的工程背景和实际意义。

倒立摆系统有着很强的工程背景，主要体现在:(l)机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术—机器人的行走控制至今仍未能很好解决。

(2)在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控 1

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制。

(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳。

(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。

(5)为防一止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。

由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、双足机器人火箭飞行控制、伺服云台稳定、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:平行式倒立摆、平面摆、柔性摆、悬挂式倒立摆和球平衡式倒摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒立摆的运动轨道既可以是水平的，也可以是倾斜的。1.2倒立摆系统的研究历史、现状及发展趋势

自从20世纪50年代倒立摆系统成为控制实验室的经典工具以来，关于倒立摆控制的论述可以分为2个主要的方面: 1)理论方面:依靠计算机仿真对控制方法的可行性进行验证;2)实验方面:调查引起计算机仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。

在理论方面，1986年，Chung和Litt对单级倒立摆系统的动态进行了辨识，并分别设计了自适应自整定反馈控制器和PD反馈控制器来保持倒立摆在垂直向上方向的稳定。1989年，Anderson和Grantham，运用函数最小化和Lyapunov稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。1992年，Renders和Soudak通过相平面分析，得到了一个线性控制器。1995年，任章等应用振荡控制理论，通过在倒立摆支撑点的垂直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统本身的稳定性。1998年，蒋国飞等将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。2001年，单波等利用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆的控制进行了仿真。在两级倒立摆方面，Sabba(1983)把系统稳定尺度作为一个无限维不等式，从而避免了方法。1996年，翁正新等利用带观测器的H状态反馈控制器对二级倒立摆系统进行了仿真控制。1997年，翁正新等利用同样的方法对倾斜导轨上的二级倒立摆进行了仿真控制。

Sinha和Joseph2000年，刘妹琴等用进化RBF神经网络控制二级倒立摆。1994年，2

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利用LyapunovFloquet变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型(有3个控制输入)。2001年，李洪兴领导的模糊系统和模糊信息研究中心利用变论域自适应模糊控制的思想在国际上首次实现了四轴倒立摆的仿真;同年，肖军等提出一种基于三维模糊组合变量的控制方法，仿真结果证明了该方法的有效性。在数学模型方面，Larcombe(1991 ,1992)得到了在二维坐标中的简单多级倒立摆系统的运动方程。1992年，Larcombe和Torsneyt2发现了简单多级倒立摆系统平衡状态的辨识方程。随后，Larcombe(1993)把符号算法应用于二级倒立摆系统的开环线性化动态方程，并且计算了系统的特征方程和开环极点。2001年，史晓霞等建立了二级倒立摆的数学模型，同年，张葛祥等建立了三级倒立摆的数学模型，并分析了系统的可控制性和可观测性，给出了智能控制算法的思路。

在实验方面，单级倒立摆系统的实验最早出现在Roberge(1960)的论文中。1963年，Higdon 和Cannon提出了平行倒立摆的问题。Koenigsberg和Fredrick(1970)则使用了基于观测器的输出反馈控制器和状态反馈调节器。Mori等((1976)设计了一个组合控制器，既可以摆起倒立摆，还可以维持它在垂直向上方向上的平衡。1992年，Simth和Blackburn利用高频垂直振荡获得稳定的倒置状态，同年，Ostertag和CarvalhoOstertag开发了一个带摩擦力补偿的稳定模糊控制器。Wei等(1995)利用bangbang非线性控制器摆起了倒立摆并稳定在垂直向上方向。1996年，张乃尧等实现了倒立摆的双闭环模糊控制。1998年，王佳斌用网络控制倒立摆。对于二级倒立摆，Loscuttof(1972)认为只有全阶观测器才能实现它的稳定;但Furuta等((1975)证明了这种结论的错误性，并在1978年利用一个线性函数观测器稳定了同一系统。1980年，Furuta等控制了倾斜导轨上的同一系统，并能保持小车的正确定位。Zuren等在1984年运用部分状态和线性函数观测器结构，在模拟计算机上应用了同一算法，1987年他

Der Linden和们使用离散二次性能指标修改T这一控制器。1993年，Van Lambrechts在运用戈理论设计倒立摆的控制器时考虑了干摩擦。Yamakita等(1993)运用学习控制方法成功摆起了二级倒立摆系统，而且在1994年他们运用这相同的控制方法使倒立摆在4种平衡状态中互相切换。1995年，程福雁等利用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制，取得了较好的效果。1999年，李岩等运用基于PD控制的专家智能控制并实现了二级倒立摆的稳定控制。2000年，林红等利用最优反馈调节器使其在倒立位置保持平衡，并在锯齿波信号的作用下有规律地移动，直至无限远处。在三级倒立摆方面，Furuta(1984)和Meier等(1990)分别利用带函数观测器和降阶观测器的LQR方法设计了反馈控制器。1999年，李德毅利用云控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三级倒立摆的多种不同动平衡姿态，并给出了详细试验结果;同年，张飞舟等采用相平面 3

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分析法并结合人的控制经验，实现了一、二、三级倒立摆的拟人智能控制。2000年，杨亚炜等利用拟人智能控制成功实现了在倾斜导轨上三级倒立摆的稳定，并可以控制三级倒立摆沿水平或倾斜导轨自由行走。

多年来，人们对倒立摆的研究越来越感兴趣，倒立摆的种类也由简单的单级倒立摆发展为多种形式的倒置系统。目前研究的大部分均为二维空间即平面内摆动的摆，另外近年来还出现了球摆、柔性摆、倾斜轨道式倒立摆、旋转式倒立摆等。

国际上每年都有成百篇关于倒立摆控制研究的论文发表，其中大部分是建立在计算机基础上的仿真研究。而且主要是以一级倒立摆作为被控对象进行仿真，用二级倒立摆和平行倒立摆来仿真的文章则很少，而用三级倒立摆乃至多级倒立摆进行仿真研究的更是罕见。三级倒立摆的控制作为控制界的经典难题一直为人们所关注，也一直是研究的热点。目前，只有很少一部分学者在对实际物理摆进行设计、实验和控制研究。1.3倒立摆的主要控制方法

经过几十年的发展，对倒立摆这样的一个典型被控对象的研究，无论在理论上和方法上都在不断的更新。各种控制理论和方法都可以通过倒立摆控制系统得以充分实践并且可以促成相互间的有机结合。目前倒立摆的控制方法主要可分为以下几类:(I)线性理论控制方法

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型;然后，再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器PID ,控制状态反馈控制、LQR控制算法，这类方法对一二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时可以得到较好的控制效果，但对于像非线性较强模型较复杂的多变量系统(三四级以及多级倒立摆)，线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。

(2)变结构控制和自适应控制方法

变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。

(3)智能控制方法

在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、拟人智能控制、仿人智能控制和云模型控制。

神经网络控制一一神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学 4

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习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，但是神经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数隐层神经元的数量激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。

模糊控制一一经典的模糊控制器利用模糊集合理论，将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略(通常是专家模糊规则查询标)，其设计不依靠对象精确的数学模型而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法，常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则其控制效果也是难以保证的，但是模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果，例如北京师范大学己经采用模糊自适应控制理论成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真结果，接着还成功研制了四级倒立摆装置且稳定

效果良好。但是基于这些模糊控制、神经网络控制等智能控制理论所设计的系统往往需要庞大的知识库和相应的推理机，不利于实现实时控制，这又阻碍了智能控制理论的发展。

拟人智能控制一一它的核心是“广义归约”和“拟人归约”是人工智能中的一种问题求解方法，这种方法是将等求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单的集合，依此类推最终得到一个本原问题集合，即可以直接求解的问题。另一核心概念是拟人其含义是在控制规律形成过程中直接利用人的控制经验直觉以及推理分析。

仿人智能控制一一它的基本思想是通过对人运动控制的宏观结构和手动控制行为的综合模仿，把人在控制中的动觉智能模型化，提出了仿人智能控制方法研究结果表明仿人智能控制方法解决复杂强非线性系统的控制具有很强的实用性。

云模型控制一一利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制，这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语盲一原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。

(4)鲁棒控制方法

虽然目前对倒立摆系统的控制策略有如此之多，而且有许多控制策略都对倒立摆进行了稳定控制，但大多数都没考虑倒立摆系统本身的大量不确定因素和外界干扰。

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(5)Backstepping方法

PV及其它是一种新的研究非线性系统的控制思想和方法，它是由Kokotovic 合作者在上世纪90年代提出的，但目前用此方法研究倒立摆系统的成果还不多见。Backstepping是一种构造性方法，它利用系统的结构特性递推地构造出整个系统的Lapunov函数，所以系统Lapunov函数和控制器的设计过程有较强的系统性、灵活性和结构性，而且保留系统中有用的非线性项，加上可以控制相对阶为n的非线性系统，消除了经典无源设计中相对阶为1的限制正因为这些优点，后来中外学者把它广泛地用在非线性系统的状态反馈控制、输出跟踪控制、自适应控制、鲁棒控制等领域的研究.2.一级倒立摆数学模型

2.1一级倒立摆系统的组成一级倒立摆控制系统主要由以下4部分组成: 1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在包含L的平面内绕O点转动的摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心毛的控制器。

一级倒立摆的结构简图如图1.1所示。

图1.1倒立摆系统的结构图

倒立摆系统主要由计算机、A/D , D/A、电机、电位计以及一些机械部件组成。计算机作为数字控制器实现对系统的实时控制，同时也为操作者提供人机界

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面，完成系统的监督管理功能，如实时画面，数据采集;A/D , D/A板插在计算机内，完成模/数、数/模转换;放大器用于电压和功率放大。电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测了小车相对于轨道中心点的相对位置、小车的速度，摆和铅垂线的角度偏移、角速度。倒立摆系统的整套机械部件分别安装在一块台架上，底板上固定着导轨支架、电机底座等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。2.2一级倒立摆系统数学模型的建立

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车 和匀质摆杆组成的系统，如图所示:

图1.2.1 一级倒立摆系统的力学示意图

将摆杆视为刚体，则一级倒立摆系统的参数为:小车质量M，摆杆质量m，摆杆重心到铰链的长度l，重力加速度g，小车位置x，摆杆角度，作用在小车上的驱动力F。当小车在水平方向运动时，若忽略摩擦力矩的非线性，对小车和摆杆进行水平和垂直方向受力分析，如图:

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图1.2.2 小车和摆杆的受力分析图

其中N和P为小车和摆杆间的相互作用力水平和垂直方向上的分量。分析小车水平方向上的合力，由牛顿运动定律可得:

由摆杆水平方向的受力分析可得:

即:

把式子(3.3)代入(3.1)式中，就得系统的第一个运动方程:

对摆杆垂直方向上的合力进行分析并由力矩平衡方程可得:

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程:

为了后面设计的方便我们对得到的两个方程进行化简和处理可得一级倒立摆系统的数学模型如下:

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在这里可以将倒立摆系统(3.8)看作是由小车和摆两部分组成的具有两个子系统的组合系统。倒立摆的摆系统控制具有高度非线性，同时考虑到实际设备长度的约束，我们必须限制小车系统的位移。以前大部分研究工作都是通过对倒立摆数学模型中的非线性项进行近似或忽略，从而简化控制器的设计。我们采用基于 Lapunov能量反馈的方法对倒立摆进行起摆控制，这实际上是利用正反馈不断增大摆的能量。针对摆系统，采用Backstepping方法设计非线性控制器，但此时得到的控制器不能实现对小车位移的控制;因此我们结合线性控制理论的极点配置方法获得对小车位移和速度控制的部分控制器;两者结合则得到整个倒立摆系统的一个非线性稳摆控制器。

3.系统控制器的设计和闭环系统的数值仿真

针对直线型一级倒立摆系统的控制器设计方法很多，包括状态反馈控制、LQR最优控制、模糊控制和PID控制等方法，同时各种方法的相互结合使用来设计倒立摆系统己经称为研究热点。

针对上面的直线型一级倒立摆系统（x..1,x2,x3x,x4x），选取M2.0kg，m8.0kg，10.5m，g9.8m/s2。我们先考虑摆子系统的动态模型:

step1令:z1x1,x2看作是系统: 的虚拟控制。现在我们的控制目的就是设计虚拟反馈控制;x21(x1)去镇定z1为此，构造Lapun函数v2..1(z1)(1/z12，)则有v1(z1)z1z1z1x2。取1(x1)k1z,1k1为可设计常数，并引入误差变量0z2x21(x1)，则有:

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故若z20，则v1(z1)k1z120，即z1子系统(3.10)被镇定，下面镇定:z2

step 2对应一个二阶系统:

此时真正的控制u出现。这一步主要是镇定z2构造Lapunov函数V1(z1,z2)(1/2)z12(1/2)z2，则

令

其中k20为设计常数，由(3.1 5)求得系统的控制输入:

20，即z1,z2子系统(3.13)被镇定，所以代入式(3.14)，则V(z1,z2)k1z12k2z2.进而:z10，反推之后可得x1,x20，即可得系统(3.9)在控制(3.16)z20，作用下被镇定。而把z1x1,z2x21(x1)x2k1x1代入(3.17)可得系统(3.9)的控制输入:

其中的k1,k20为可设计常数，可以根据实际系统的具体要求进行设计，这一点也是Backstepping方法的特点和优点之一。当取k1k2100，k1k21150时相

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应的控制器:

我们先对上面得到的非线性系统(3.8)作近似线性化。考虑摆杆在平衡点(0)附近摆动微小，对非线性系统(3.8)进行局部线性化，即令cos,sin做近似处理后，就得到倒立摆的线性状态方程

.式中X[xT.1,x2,x3,x4][,,x,x]T,uF，输出y[,x]T

其中I(1/3)ml2

用Matlab中的place函数得到反馈矩阵:

截取K3,K4部分为x3,x4的系数，则可得

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两者结合可得:

该控制器可以控制摆杆保持平衡的同时，跟踪小车的位置。注意:上述F的参数可以进一步调试。对整个倒立摆做数值仿真结果如下:

图3-4小车和摆杆的状态响应曲线

4.直线型一级倒立摆系统的Simulink模型和离线仿真

4.1基于线性控制器对线性系统的离线仿真 在上面所设计的直线型一级倒立摆的线性控制器

该控制器的设计采用的是Backstepping方法，类似于极点配置法，设计的目的是使系统满足工程师提出的瞬态和稳态性能指标。我们利用Simulink搭建该控制器模型如图4-1 12

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图4-1 线性控制器的Simulink模型

其次构建直线型一级倒立摆系统的线性系统的Simulink模型为

图4-2 线性系统的Simulink框图

最后对控制器模块和线性模型模块进行封装，再连接起来就是倒立摆系统的闭环系统模型，如下图4-3。

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图4-3 倒立摆闭环系统的Simulink框图

这样我们就在MATLAB的Simulink环境下，搭建出状态反馈控制系统仿真试验研究平台，通过示波器可以在线观察系统的状态变化，进而可以对倒立摆闭环系统进行实验仿真分析了。

图4-4 倒立摆闭环系统的Simulink仿真曲线

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4.2基于线性控制器对非线性系统的离线仿真

首先用Simulink搭建的倒立摆系统的非线性系统模型为：

图4-5 倒立摆系统的非线性系统模型

利用4-7建好的线性控制器模块和上面建好的非线性系统模型进行封装，再连接起来就是倒立摆系统的闭环系统模型，如下图4-6。

图4-6 整体闭环系统Simulink框图

最后模型建立好后，我们就可以对倒立摆闭环系统进行离线仿真。如下图4-7。

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图4-7 倒立摆闭环系统的Simulink仿真曲线

从图4-4和图4-7可以看出，所设计的线性控制器对线性化系统控制效果比对非线性系统的好，这说明线性控制器对非线性倒立摆系统的控制较差，而且实验表明非线性控制器对系统的抗干扰能力和鲁棒性强。4.3基于非线性控制器对非线性系统的离线仿真 先建立非线性控制器的Simulink框图

图4-8 非线性控制器的Simulink框图

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图4-9 非线性部分的Simulink框图

对非线性控制器模块进行封装，再与非线性系统模型模块连接起来就是倒立摆系统的闭环系统模型，如下图4-10。

图4-10 闭环系统的Simulink框图

最后模型建立好后，我们就可以对倒立摆系统进行离线仿真。如下图4-11。

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图4-11 倒立摆闭环系统的Simulink仿真曲线

可以看出非线性控制器的控制效果很好，时间越长稳定性越好，内有抖动性，但收敛时间稍微有点长，但它的控制效果好，特别是对外界的抗干扰能力等。

5.模型的优缺点

该控制算法与其他算法相比，优缺点主要有以下几点:（1）与固高公司提供的LQR最优控制算法相比，在稳定时间几乎一样，由于本文给出的算法里面含有可调参数，只要合适的调节参数，就可以使得稳定时间大大缩短，但这样也会存在使控制量过大，出现系统抖动问题。另一方面本文给出的算法在抗干扰能力方面要强于LQR最优控制算法，见最后一章的分析。

（2）与精确线性化方法对比，该方法收敛速度即稳定时间要比精确线性化 方法快，而且精确线性化方法对原系统进行了线性化，故理论上与实际的系统模 型有一定的误差。而本文设计的控制算法保留了系统的非线性项，控制效果好，但同时也增加了控制器的能量，响应时间会受到影响。

(3)与模糊逻辑控制理论相比，该方法收敛速度明显要快，而且调节时间短，稳态性能指标也比较好。

（4）变结构控制理论设计的控制算法使得系统的抖动厉害，而本文给出的算法抖动性小，而且时间越长控制效果越好。

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(5)本文只采用一种控制设计方法，当然与那些多种控制方法结合使用的设 计方法相比存在一定的不足。把模糊控制和神经网络控制结合控制的效果很好，在稳定性、抗干扰性方面优势都很大。事实证明:模糊神经网络的BP算法比一般神经网络的BP算法快得多，在受干扰情况下，小车摆杆的恢复迅速。

6.结论和展望

倒立摆控制系统作为检验控制理论的试金石，对于控制理论研究方面发挥着 越来越重要的作用，值得进一步的研究和开发。本文主要利用Backstepping方法设计了直线型一级倒立摆系统控制器并基于MATLAB/Simulinkk对系统进行了离线仿真。本文所作的主要工作或要达到的主要目的是:(一)建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，并利用Backstepping方法设 计了该倒立摆系统的控制器，然后对闭环系统进行了数值仿真并与其他方法进行 了数值仿真分析比较。与当前的倒立摆研究成果相比，具有研究方法新颖、控制 效果好的特点。

(二)本文利用所设计的非线性控制器在MATLAB/Simulink环境下对系统进 行了离线仿真分析，并与固高公司提供的算法进行了仿真效果比较。

倒立摆系统的种类有很多，本文只是在直线型一级倒立摆中进行了研究和分析，随着控制理论研究的深入，必将会出现更多新的控制方法，而且新的控制方 法的综合使用也将是研究的热点，那么就需要更复杂的系统进行检验，需要对更 复杂的倒立摆系统进行研究;同时MATLAB/Simulink的广泛应用，必将带来控制理论和控制实验方面的进一步深入和丰富。

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7.参考文献

[1]俞立.现代控制理论【M】.北京:清华大学出版社，2007.4 [2]中国科学技术人学编.固高摆系统与自动控制实验【Z】.2002 [3]谢克明.现代控制理论基础【M】.北京:北京工业大学出版社，2003 [4]邓丽霞.基于Backstepping和MATLAB/Simulink的直线型一级倒立摆系统的控制器设计与实时控制研究【J】,2008 [5]徐若冰.基于极点配置的倒立摆控制器设计【J】,2007 [6] Albertalsidori.非线性控制系统(第二版)【M】.比京:电子工业出版社，2005 [7]宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科学计算中的应用【M】.北京:清华大学出版社.2005 [8]周党伟，钱富才.直线倒立摆的稳定控制研究【J】.西安理工大学硕士学位论文

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洛阳理工学院毕业设计（论文）第1章：绪论1.1 倒立摆的发展历史及现状控制理论教学领域，开展各种理论教学、控制实验、验证新理论的正确性的理想实验平台就是倒立摆控制系统。对倒......

倒立摆模型

直线一级倒立摆数学模型建立及线性化处理直线一级倒立摆系统的组成本系统由水平移动的小台车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入量是拖动小台车的直流伺服电机的驱动力，被......