线性代数试题4_线性代数试题库

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试题二参考答案

一、1． √ 2． × 3.× 4． × 5． √

二、1.D 2.D 3．B 4.C 5.D

三、1．-5 2．-36 O3．B2AO1O=1A12B。O14． 2 5． |A1|3=164。

6． R(A*B*)= 1 7．a12

8．(1,2,1)T。9．y12y22 10． tn

四、1．

解：问题转化为方程组求解问题

x1x2x312x1(a2)x2(b2)x33 3ax(a2b)x323

增广矩阵

1A201a23a1b2a2b1130031a01bab11 0（1）a0时,(若b=0则R(A)1,R(A)2,若b0则R(A)2,R(A)3)方程组无解，即不能用1,2,3线性表示

（2）a0,ab0时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解，即可由1,2,3唯一地表示，求表示式：

1A001a01bab1101001a0001110100010011a10a 101(11)2 1aa

（3）a0,ab0时，R(A)R(A)2，可由1,2,3表示，但表示式不惟一，求表示式：

1A001a01a011010001011a11a 0001(11)(k)2k3 1aa 其中k为任意常数。

2．解：(1)由题意

2422T1211112 1211T的特征方程为

4222110，即2(6)0 211所求特征值为0,0,6

0时，特征向量(x1,x2,x3)T满足方程

422x02111x2211x0 30

得0对应的特征向量(0,1,1)T,(1,1,1)T 同理得6对应的特征向量(2,1,1)T

（2）取正交阵

12036Q111236 1112360得QTTQ0 6

3.解：(1)设R3中自然基为1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1)

4

则

123121321233001123123314521116故

121313212333711231452111612273947120124198基1,2,3到1,2,3的过渡矩阵为：

坐标变换公式：

这里

P127P947120124198y1x11y2Px2yx33139719131018146329945

（2）向量2123在基1,2,3下的坐标为：

（3）向量12243在基1,2,3下的坐标为：

五、139719131018141156632109286499427947120124125891118112证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组 ax2by3c0bx2cy3a0

有解 cx2ay3b0a2b2c2a3c1bcaca0 b故 R(A)R(A)bc1bcac3a0(abc)13b1由于11a1[(ba)(cb)(ac)]0 2b222所以abc0

充分性：abc0b(ac)所以ab2b2c2(acb)2[ac(ac)][ac(ac)]0

22222R(A)R(A)2,因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0

有唯一解，即l1,l2,l3交于一点 cx2ay3b0