线性代数较难试题_线性代数精选试题

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一、设A相似于对角阵，0是A的特征值，X0是A对应于0的特征向量.证明：

(1)秩(A0I) 秩(A0I)2；(2)不存在Y，使得(A0I)YX0.证：(1)设A则A0I故 =diag{0,k,0,k1，n},i0,ik1，n.0I,(A0I)2(0I)2.rank(A0I)rank(0I)rank(diag{0,k,0,k10，n0}

nk.同理，rank(A0I)2rank(0I)2rank(diag{0,k,0,(k10)2，(n0)2}

nkrank(A0I).（2）如存在Y，使得(A0I)YX0，则

2(A0I)，Y(A0I)0X

由（1）知方程组(A0I)2X与(A0I)X同解。

从而(A0I)Y，即X0，与X0为特征向量矛盾。

二、已知线性方程组AnnXb 对任何b的取值都有解的充要条件是Ann为可逆阵。

证明：充分性:设A可逆，则对任意b，XA1b.必要性:

解法一: 当 b取遍所有基本向量组中的向量后, 原方程组都有解, 以这些解向量作为列向量构做矩阵B, 显然 AB=I, 其中 I 为单位阵, 故而

A可逆.解法二: 由题目假设知任何n维向量 b 都能由 A 的列向量组线性表出, 所以向量空间 Rn的维数不会超过A 的列向量组的秩, 由此得出: A的列向量组的秩为n, 即A可逆.三、设,为3元单位列向量，且T0，记ATT。证明：(1)齐次线性方程组AX0有非零解；

100(2)A相似于矩阵010。000

四、设n阶矩阵A满足A2A, r(A)r(0rn)。(1)试确定A的特征值的取值范围；(2)证明A一定可以相似对角化；(3)求行列式A2I的值。

五、已知Rn中两个非零向量：a1,a2,,an,b1,b2,,bn，TT其中n2, b10，矩阵AT。(1)求A2；

(2)求A的特征值和特征向量；

(3)判断A是否可以相似对角化：若可以，请写出相似变换矩阵P和对角矩阵；若不可以，请说明理由。

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