回归课本专题五 不等式、立体几何_旧版本立体几何课本

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一、不等式：

1．不等式的基本概念和性质

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.例1．（1）设a∈R且a≠-2,比较

（2）若不等式|x-1|

回归课本专题五：不等式、立体几何

（2）已知a1a2a30，则使得(1aix)21(i1,2,3)都成立的x取值范围是____.4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.常用不等式的放缩法：①

1111111

2(n2)

nn

1n(n

1)nn(n1)n1

n

22a

与2-a的大小．







n1)

5.不等式的应用

例5：已知f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0（1）证明f(x)为奇函数且是R上的减函数；（2）若关于x的不等式

a|0,a20

222

2（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时

（1）若aR,则|

取等号）

（3）如果a，b都是正数，那么

ab.（当仅当a=b时取等号）

2

f[cos2(x)]f[sin2(x)]f(m)对一切x0,恒成立，求m的取值范围.662

6.练习：

1、不等式4xxx解集是___________.2最值定理：若x,yR,xyS,xyP,则： ○1如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；即积定和最小○2如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大．即和定积最大利用最值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.abc(4)若a、b、cR,则a=b=c时取等号）

3ba

(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab



(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;

（7）若a、bR,则||（8）如果a,b都是正数，那么

2|x|ax2a2axa

（当仅当a=b时取等号）

a||b|||ab||a||b|

ab

2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，2

2的定义域为_____________.log2(x24x3)2xy40x

13．设命题甲为:;命题乙为:;则甲是乙的___________条件.0xy32y

34．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_____________.2．函数f(x)

5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是__________.．．．．（1）|ab||ac||bc|（2）a2（3）|ab|

1a

2ab2abab2a2b2)ab）ab()（当a = b时，(2222

＋

例2：（1）设a，b R，且a+b =1，则2a12b1的最大值是__________.（2）若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是_____.A．a1b1a2b2B．a1a2bb12C．a1b2a2b1D．

3.不等式的解法

2例3：（1）设p:x2x200,q:1x0，则p是q的_________.a

a

2（4）a3a1a2a ab6、若不等式|x-1|

127、设实数x，y满足x2(y1)21，当xyc≥0时，c的取值范围是_________.8、若关于x的不等式x2－ax－6a≤0有解，且对于任意的解x1，x2恒有|x1－x2|≤5，则实数a的取值范围为____________.

9、设函数f(x)xsinx,x[,]，若f(x1)f(x2)，则x1与x2的关系为____________.2210、若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为.|x|

2回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页

11、已知点（x0，y0）在直线ax+by=0，(a，b为常数)上，则(x0a)(y0b)的最小值为

＋

2例:⑴给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题：

①m,lA,点Am,则l与m不共面；

②l、m是异面直线，l//,m//,且nl,nm,则n； ③若l//,m//,//,则l//m；

④若l,m,lm点A,l//,m//，则//.其中真命题是.（填序号）⑵已知两条直线m,n，两个平面,，给出下面四个命题： ①m//n,mn②//,m,nm//n ③m//n,m//n//④//,m//n,mn 其中正确命题的序号是2.常用定理:

.12、设a，b R，且a+b =1，则2a12b1的最大值是__________.二、解答题：

13、设f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当x[2,3] 时，g(x)x24x4．（1）求f(x)的解析式；（2）对于任意的 x1,x2[0,1]且x1x2,求证：f(x2)f(x1)2x2x1;（3）对于任意的x1,x2[0,1]且x1x2,求证：f(x2)f(x1)1.14、已知f(x)loga(x1)，点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.（1）当0

（2）当a>1，x∈0,1时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立，求m的范围.a//b

//

a//；aa// ①线面平行ba//；

a

aa

//

a//baaa//ba//b；②线线平行:a；；a//bc//b 

a//cbbb

a,b

//a

abO//// //；③面面平行:；

//aa//,b//

PO

a0

④线线垂直:ab；所成角90；aaPA

b

aAO

a//

2a

2a0

15、解关于x的不等式：xxa9

二、立体几何： 1.位置和符号:

①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a∩α=A(aα)、aα ③平面与平面:α∥β、α∩β=a

a,b//a//bab ⑤线面垂直:abOl；la；；

aa

la,lba,al

aa//

 ⑥面面垂直：二面角90；a；

a

（提醒：在书写时，要注意定理条件使用的准确）

2.求空间角:

①异面直线所成角的求法：（1）范围：(0,

]；（2）求法：平移以及补形法、向量法.(主

要以向量法为主)

如（1）正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____；

（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____；

②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角：





回归课本专题五 不等式、立体几何 第 2 页

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；

如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面

AA1C1C所成的角的正弦值为______；

（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______；

③二面角：二面角的求法：（主要以向量法考查）；

3.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系

三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;

4.空间距离:（要注意在求体积时）①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行

PAn

面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法h.n

5.平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;6.从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；

7.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题；②将空间图展开为平面图； ③割补法；④等体积转化；⑤线线平行线面平行面面平行；⑥线线垂直线面垂直面面垂直；⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.8.练习

1、已知直线l⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：

（1）∥βl⊥m（2）⊥βl∥m（3）l∥m ⊥β（4）l⊥m∥β 其中正确命题的序号是

2、给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题：（1）m,lA,点Am,则l与m不共面；

（2）l、m是异面直线，l//,m//,且nl,nm,则n；（3）若l,m,lm点A,l//,m//，则//

（4）若l//,m//,//,则l//m其中真命题是（填序号）

3、已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为cm.4、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四

面体ABCD的外接球的体积为

５．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为。

６、如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A,B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：(1)PA//平面MOB;(2)MO//平面PAC(3)OC平面PAB;（4）平面PAC平面PBC，其中正确的命题是_____________

B

C

７、设P,A,B,C是球O表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且PAPBPC1，则球的表面积为.８．已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.(1)求证:PF⊥FD；

(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.９.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD

4，BD，AB2CD8．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥PABCD的体积．

P

HD

CF

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