2.5.1 平面几何中的向量方法(教案)_向量的几何表示教案

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2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

教学目标

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.教学过程 导入新课

前言：向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.新知探究 提出问题

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法? ③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

图1

图2

证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.应用示例

图3

例1 如图4, 解:如图4, ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.又因为EB=AB-AE=a-图4

1b, 21b).2ER与EB共线,所以我们设ER=mEB=m(a-因为ARAEER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m1)b=0.由于向量a、b不共线,要使上式为0,必须 2nm0,1解得n=m=.m13n0.2所以AR=变式训练 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

图5

如图5,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.证明:设BE、CF相交于H,并设AB=b,AC=c,AH=h,则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因为BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化简得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH与AD共线, 即AD、BE、CF相交于一点H.课堂小结：用向量解决平面问题的三步曲：

课后作业：

1.有一边长为1的正方形ABCD,设AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,则使λb-a与a垂直的λ=____________.2,a与b的夹角为45°3.在等边△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四边形ABCD满足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M为对角线AC的中点.求证:|MB|=|MD|.5.如图6,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.图6

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