含参不等式恒成立问题的求解策略_不等式含参恒成立问题

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含参不等式恒成立问题的求解策略

授课人：李毅军

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。现就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M。因而，含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值讨论。

例1：已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2，当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要条件是b－1≤a≤2b。

二、分离参数法

例2：设f(x)=lg12x(n1)xnxan，其中a是实数，n是任意给定的自

然数且n≥2，若f(x)当x∈，1时有意义，求a的取值范围。

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式f(x，)≥0，（x∈D 为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为f1()≥f2(x)（或f2()≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D时的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1()≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得的取值范围。

练习1：已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在0，上是增函数，对于任意x∈R求实数m范围，使f(cos2－3)+f(4m－2mcos)＞0恒成立。

练习2：设0＜a≤54，若满足不等式|x－a|＜b的一切实数x，亦满足不等式| x－a 2|

＜12，求正实数b的取值范围。

练习3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函数f(x)=a·b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。

三、数形结合数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立的问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1．f(x)＞g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2．f(x)＜g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈10，3内恒成立，求实数a的取值范围。

练习：设f(x)=x24x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围。

四、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例4：若对于任意a∈1，1，函数f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范围。

五、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[m，n][f(a)，g(a)]，则f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。

例5：当x∈13，3时，|logax|＜1恒成立，求实数a的取值范围。

六、课后练习

1．已知函数f(x)=lgxax2，若对任意x∈2，恒有f(x)＞0，试确定a的取值

范围。

2．若(x，y)满足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。

n3．若不等式11n≤e对任意的n∈N*都成立，其中e是自然对数的底数，求的最大值。

4．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求证f(x)为奇函数；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。