线性代数习题及答案复旦版_线性代数复旦习题库

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线性代数习题及答案(复旦版)[]

线性代数习题及答案 习题一

1.求下列各排列的逆序数.(1)341782659；

(2)987654321；

(3)n(n?1)…321；

(4)13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.【解】

(1)τ(341782659)=11;

(2)τ(987654321)=36;

(3)τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4)τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式的展开式中包含和的项.解： 设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有.5.用定义计算下列各行列式.(1)；

(2).【解】(1)D=(?1)τ(2314)4!=24;

(2)D=12.6.计算下列各行列式.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1);

(2);

7.证明下列各式.(1)；

(2)；

(3)

(4)；

(5).【证明】(1)

(2)

(3)首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4)对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8.计算下列n阶行列式.(1)

(2)；

(3).(4)其中 ；

(5).【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得

(2)按第二行展开

(3)行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

.(5)

.即有

由

得.9.计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（?1）后加到其余各行，得

10.计算阶行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11.已知4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】

同理

12.用克莱姆法则解方程组.(1)

(2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13.λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足

即(a+1)2=4b.15.求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得 于是所求的多项式为

16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二

1.计算下列矩阵的乘积.（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.【解】

(1)

(2);

(3)(10);(4)

(5);

(6).2.设，求(1);(2)；(3)吗? 【解】(1)

(2)

(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.3.举例说明下列命题是错误的.(1)若，则；

(2)若，则或；(3)若，则.【解】

(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令

则AX=AY,但X≠Y.4.设, 求A2，A3，…，Ak.【解】

5.，求并证明：.【解】 今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6.已知，其中

求及.【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7.设，求||.解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有，且，即

于是有

.8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知

从而由到的线性变换为

9.设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以

(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵.10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则

AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵.11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(2)AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2;(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12.求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.13.求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于 A=E+, 而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.14.求下列矩阵的逆矩阵.(1)；

(2)；(3)；

(4)；(5)；

(6)，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】

(1);

(2);(3);

(4);(5);

(6).15.利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而 故

16.证明下列命题：

(1)若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.(3)若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*

=(AB)*A|B|EA*=|A|²|B|(AB)*.∵

|A|≠0,|B|≠0, ∴

(AB)*=B*A*.(2)由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1)*=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.于是

A*(A?1)*=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以

(A?1)*=(A*)?1.(3)因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.由(2)(A*)?1=(A?1)*,得(A*)?1=(A′)*=(A*)′.17.已知线性变换

求从变量到变量的线性变换.【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18.解下列矩阵方程.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1)令A=;B=.由于 故原方程的惟一解为

同理

(2)X=;

(3)X=;

(4)X= 19.若(k为正整数)，证明：

.【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1.【证】因为A2?A?2E=0, 故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21.设，,求.【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.而

即A?2E可逆，故

22.设.其中，求.【解】因可逆，且故由 得

23.设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)，证明，；

(2)设，证明，.【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2)由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1.且

Bk=(PAP ?1)k= PAkP ?1, 又

24.，证明矩阵满足方程.【证明】将A代入式子得

故A满足方程.25.设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1)若｜｜＝０，则｜｜＝０；

(2).【证明】（1）若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*(A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*(A*)?1=|A|(A*)?1=0,这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2)由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1.26.设

.求(1);(2);(3)；(4)｜｜k(为正整数).【解】

(1);

(2);(3);

(4).27.用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）；

（2）;

（3）.【解】(1)对A做如下分块

其中 的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2)(3)

习题 三

1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.【证明】因为

所以向量组线性相关.6.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里 【证明】

设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得.又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.7.略.见教材习题参考答案.8..证明：如果，那么线性无关.【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关.9.设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.10.设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若

(1)线性相关，且不妨设

(t

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.11.求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12.确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).13.设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.14.若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15.略.见教材习题参考答案.16.设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组(1)与向量组(2)的极大线性无关组分别为(3)和(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17.设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明：.【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有.18.设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.【证明】设

A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆.()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵.r=R(B)=R(KA)≤R(K),又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r.()当r=R(K)时，即K行无关，由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s))知R(B)=r,即B行无关.19.略.见教材习题参考答案.20.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)；

(2).【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为.21.略.见教材习题参考答案.22.集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间.23.试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.24.求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的.25.设,证明:.【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.26.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解(k为任意实数)故

27.验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示.【解】设 又设 , 即

记作

B=AX.则

因有,故为R3的一个基，且

即.习题四

1.用消元法解下列方程组.(1)

(2)【解】(1)

得

所以

(2)①

②

③

解②?①³2得

x2?2x3=0 ③?① 得

2x3=4 得同解方程组 ④

⑤

⑥

由⑥得

x3=2, 由⑤得

x2=2x3=4, 由④得

x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得

(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.2.求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)

(2)

(3)

(4)【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为.(2)系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0).(4)方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.(1)

(2)(3)

(4)【解】

（1）方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2)方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T.又分别取

得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解.(4)方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为

其中为任意常数.4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间

消耗系数 车间 1 2 3 出厂产量（万元）总产量（万元）1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5.取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=.(1)当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.∴ 方程组有惟一解

（2）当=?2时，R(A)≠R(B),∴ 方程组无解.(3)当=1时

R(A)=R(B)

∴ 得通解为

6.齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为

|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解.(i)当=4时，得同解方程组

(ii)当=?1时, 得

∴()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1）

(2)【解】方程组的增广矩阵为(1)

(i)当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii)当b=?52,a≠?1时，方程组无解.(iii)当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解.得同解方程组(*)其导出组的解为

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1,∴ 原方程组的解为

(2)

(i)当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii)当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2

取

∴ 得方程组的解为

8.设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由

为Ax=0的解.求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为 取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解.【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系.又

∴ 方程组Ax=b的解为

10.求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1)

(2)【解】

(1)设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知

令

k1=x2 ,k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.(2)A()=0A的行向量为方程组为的解.即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为

11.设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）

问：（1）a，b为何值时，不能由，，线性表出？

（2）a，b为何值时，可由，，惟一地线性表出？并写出该表出式.（3）a，b为何值时，可由，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.【解】(*)

(1)不能由，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.(2)可由，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.(*)等价于方程组

(3)可由，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0.方程组（*）为常数.∴

12.证明：线性方程组有解的充要条件是.【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)得证.13.设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

（1）线

性无关；

（2）线性无关.【 证明】(1)线性无关 成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于.由于为线性无关

∴线性无关.(2)证线性无关.成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即

由(1)可知，线性无关.即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关.14.设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）

(Ⅱ)

(1)求方程组（Ⅰ）的通解；

(2)当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组（*）

得方程组（*）的基础解系

令，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。

(2)方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**)方程组（**）的基础解系为 当时，当时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有，即t = 6.也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.习题五

1.计算.【解】

2.把下列向量单位化.(1)＝（3，0，－1，4）；

(2)＝（5，1，－2，0）.【解】

3.利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1)1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2)1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)【解】

4.试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.【证】与正交.∴ 与正交.5.下列矩阵是否为正交矩阵.【解】

(1)A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2)A′A=EA为正交矩阵 6.设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.【证】

∴ H为对称矩阵.∴ H是对称正交矩阵.7.设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵.8.判断下列命题是否正确.(1)满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；

(2)如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；

(3)实矩阵的特征值一定是实数.【解】

(1)╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.(2)╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3³3的特征向量.(3)╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.9.求下列矩阵的特征值和特征向量.【解】(1)

当时，为得解

对应的特征向量为.当时,其基础解系为,对应的特征

向量为

∴ 特征值为

(i)当时，其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0.(ii)当时, , 解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为(i)当时，得基础解系为 对应的特征向量为(ii)当时，其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为(iii)当时，其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2.(i)当时，其基础解系为(4,?1,1,0)′.∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0.(ii)当时，其基础解系为：（1,0,0,0）′.∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为

求矩阵A.【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆

11.设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0.得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量.将正交化得

=(?1,1,1)T, 单位化：;=(1,1,0)T,;则有

12.若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.由A2=A可知 所以有或者=1.13.若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量.则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x(2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.14.设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.又

A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有

（λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0.从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量.15.求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.【解】

(i)当时，方程组的基础解系为(?2,1,0)T,(2,0,1)T.(ii)当时，其基础解系为.取,单位化为, 取，取，使正交化.令 单位化

得.(i)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii)当时，其基础解系为

单位化得

(i)当时，其基础解系为

由于()=0,所以正交.将它们单位化得

(ii)当时，其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得

(iii)当时，其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为

(i)当=2时，其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 ,(ii)当=5时，=(2,1,2)T.其基础解系为=(2,?2,1)T

.单位化得.(iii)当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵

16.设矩阵与相似.(1)求x与y；

(2)求可逆矩阵P，使P－1AP=B.【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.由于?1为A的特征值，可知.将x=0代入|A?E|中可得

可知y= ?2.(2)(i)当=?1时，其基础解系为

=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T.(ii)当=2时，其基础解系为

=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为

=(0,1,1)T(ⅲ)当=?2时, , 其基础解系为

=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵

则

17.设，求A100.【解】

特征值为(i)当时，其基础解系为

(ii)当时，其基础解系为(?1,1,2)T.令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.(1)；

(2)；

(3).【解】(1)(2)(3)

19.写出二次型 的矩阵.【解】

20.当t为何值时，二次型的秩为2.【解】

21.已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵.【解】由题知 二次型矩阵

当时，即有

2ab=0.当时，当时，(ⅰ)当时，得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化

(ⅱ)当时，其基础解系为=(0,1,0)T.(iii)当时，其基础解系为=(1,0,1)T.单位化得

得正交变换矩阵

22.用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换.得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换 所作线性交换为

23.用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.【解】(1)

(2)二次型矩阵为

24.设二次型

(1)用正交变换化二次型为标准型；

(2)设A为上述二次型的矩阵，求A5.【解】(1)二次型的矩阵为

求得A的特征值.对于，求解齐次线性方程组(A?E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得 对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是

即为所求的正交变换矩阵，且(2)因为所以 故

25.求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程.【解】的矩阵为

(1)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(2)当时,.其基础解系为.单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26.判断下列二次型的正定性.【解】(1)矩阵为

∴ 二次型为负定二次型.(2)矩阵

∴ 二次型为正定二次型.(3)矩阵为

∴ 为正定二次型.27.t满足什么条件时，下列二次型是正定的.【解】(1)二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型.(2)二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型.28.假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.当为实二次型时,若≠0,都使得f>0,则f为正定二次型.29.试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx

= xTBx 且A′=A，B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定.30.试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵.【证】A可逆(A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定.31.试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵.【证】A正交，可知A′=A 

可逆阵C，使得A=C′EC.(i)A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.(ii)(A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵.由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n)Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为，(i=1,2,…,n)∴ A?1正定.(iii)由A*=|A|²A?1可知

(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x)即有时，xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵.习题

六

1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²；

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B),(kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2）否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3）否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4）否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2.设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3.设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法).【证明】对差n?r作数学归纳法.当n?r=0时，结论显然成立.假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ,必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理，结论普遍成立.4.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为

解之得()=(1,0,?1,0).5.在R３中，取两个基

＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；

＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R３中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有

所以由基到基的过渡矩阵为

坐标变换公式为

其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标.6.在R4中取两个基

(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；

(2)求向量()在后一个基下的坐标；

(3)求在两个基下有相同坐标的向量.【解】(1)

这里A就是由基到基的过渡矩阵.(2)设,由于()=()A?1,所以

因此向量在基下的坐标为

(3)设向量在这两个基下有相同的坐标,那么

即

也就是

解得,其中为任一非零实数.7.证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.【证明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有(A+B)′=A′+B′=A+B(kA)′=kA′=kA.这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间.不难验证，下列6个对称矩阵.构成S的一个基，故S的维数为6.8.说明平面上变换的几何意义，其中

(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.9.设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换

T(A)＝P′AP，A∈Ｖ

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,B∈V,k∈R,有

T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.10.函数集合V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a

1,a0∈R｝

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex，求微分运算D在这个基下的矩阵.【解】

即

因此D在基下的矩阵为.11.2阶对称矩阵的全体

对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基

(1)在V3中定义合同变换

求在基下的矩阵及T的秩与零度.(2)在V3中定义线性变换

求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核.【解】(1)

由此知，T在基下的矩阵为

显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0.(2)

即

T()=()M, 其中就是T在基下的矩阵.显然有

所以

T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即

也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系(2,?1,0),(1,0,?1).故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).习题

七

1.求下列矩阵的Smith标准型.【解】(1)对矩阵作初等变换，得

即为所求.(2)对矩阵作初等变换得

即为所求.(3)不难看出，原矩阵的行列式因子为

所以不变因子为

故所求的Smith标准形是(4)对矩阵作初等变换，得

即为所求.2.求下列矩阵的不变因子.【解】(1)显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3.故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3.(2)当b≠0时，且在矩阵中右上角的三阶子式

而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2.3.证明的不变因子为

d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an.【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1.而该矩阵的行列式为

Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为

d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.4.证明（a为任一非零实数）相似.【证明】 记

经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似.5.求下列复矩阵的若当标准型.【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是

(2)设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得

所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是

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