含绝对值的不等式解法(总结归纳)_含绝对值的不等式总结

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含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法

[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是

{x|-aa(a>0)的解集是{x|x>a或xa(a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4

原不等式解集为{x|-4

x2+3x-4

(x+)2

|x+|

原不等式解集为{x|-4

[例题分析与解答]

例1．解关于x的不等式|ax-2|

[分析与解答]：|ax-2|0)型。∴-4

当a>0时，-

当ax>,当a=0时，不等式化为2

故a>0时不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和

x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

(1)

-4≤x

(2)

-≤x≤-。

(3)。

综上，原不等式的解集为{x|-4≤x

例3．解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a

[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a

(x+2)(x-a)

当a>-2时，原不等式解集是{x|-2

例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号）又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a

∵ a

∴-1

，即=2,-3×1=，即=-3，另法：∵ a

x2+(1+)x+6(-1)>0,将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2

以下同上面解法。

在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。

例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为。

不等式的解为{x|x}。

(2)若4

(3)若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是

{x|

[本周参考练习]

1．关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+cβ，其中α0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解为xβ，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。当a>0时，≤x≤。

∴ , 不满足a>0,舍去。当a

∴

当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。

2．解由1

3．解：必有a

x+>0的解为xβ，∴α+β=-, α·β=。

将cx2-bx+a>0两边同除以a(a

x2-x+1

∵ αβ>0，∴ x2+（）x+-，不等式解为-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根（β>α）。

∴ β-α=，∴ a2+24a≤25，-25≤a