分式和绝对值不等式的解法_绝对值和分式不等式

分式和绝对值不等式的解法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“绝对值和分式不等式”。

（一）分式不等式： f(x)f(x)为整式且（x）的不等式称为分式不等式。0或0（其中f(x)、（x）0）(x)(x)

（1）分式不等式的解法：

解关于x的不等式x10 3x

2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：

x10x10或(x1)(3x2)0 3x203x20

变式一：x103x2

(x1)(3x2)03x20等价转化为：

比较不等式x1x1（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）0及0的解集。3x23x2

（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：

（1）f(x)f(x)0f(x)(x)0（3）0f(x)(x)0 (x)(x)

f(x)(x)0f(x)(x)0f(x)f(x)00（2）（4）(x)0(x)0(x)(x)

（3）小结分式不等式的解法步骤：

（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式

（2）转化为等价的整式不等式

（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）

练一练：解关于x的不等式(1)

例

1、解关于x的不等式：

解：21x3 0(2)35xx5x22 x3x220 x

3x22(x3)0 x3

x8即，0 x3

x80（保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）x3

(x8)(x3)0等价变形为：x30

原不等式的解集为

例

2、解关于x不等式

方法一：x28,3 x822x2x32x3恒大于0，利用不等式的基本性质

方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。

例

3、解关于x的不等式：

解：移项a1 xa10 x

axxa通分0即，0 xx

等价转化为，x(xa)0

x0

当a>0时，原不等式的解集为(0,a]

当a

当a=0时，原不等式的解集为

（二）绝对值不等式 理解绝对值的几何意义：

其几何意义是数轴上的点a(a0)a0(a0)a(a0)，A(a)离开原点O的距离OAa。

（一）注意绝对值的定义，用公式法

即若a0，|x|a，则axa；若a0，|x|a，则xa或xa。

|2x3|3x1 例1.解不等式

解：由题意知3x10，原不等式转化为

即：对于形如

①当a>0时，②当a=0时，③当a

拓展：形如(3x1)2x33x1 |f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即： |f(x)|aaf(x)a；|f(x)|af(x)a或f(x)a。|f(x)|a，无解；|f(x)|af(x)0。|f(x)|a，无解；|f(x)|af(x)有意义。a|f(x)|b(ba0)型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：

a|f(x)|b(ba0)af(x)b或bf(x)a。

例1解以下不等式：

（1）|2x3|5；|2x1|0。（2）

解：（1）由原不等式可得：2x35或2x35，即x>4或x1。

所以原不等式的解集是{x|x4或x1}

（2）因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为。

（二）注意绝对值的非负性，用平方法

22|x|x等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。

例2.解不等式|x1||2x3|

两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。

222222|x1||2x3|(x1)(2x3)(2x3)(x1)0 解：原不等式

即：对于 形如|f(x)||g(x)|型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：

|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0。

例2解不等式|x1||2x3|。

4x22|x1||2x3|3x10x803解：原不等式等价于：，即，解得。2

2（三）注意分类讨论，用零点分段法

不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。

例3.解不等式|x2||x1|

3解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x10和x20得分界点

于是，可分区间x

1、x2(，2),[2，1]，[1,)讨论原不等式

x2,2x1,x1,或或(x2)[(x1)]3x2(x1)3x2(x1)

3解得x1或x

2x(，2)(1，)和

综上不等式的解为即：对于形如xcxbaxcxba不等式，用零点分段法1．解不等式x1x3

4（1）利用绝对值不等式的几何意义

这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合（2）零点分段讨论：（即去掉绝对值）

注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式

（3）构造函数，求函数解集温馨提示：令f(x)xx3画出函数图像进行研究

总结:绝对值不等式的解法

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）xa(a0)axa；； ； ； xa(a0)xa或xaf(x)a(a0)af(x)af(x)a(a0)f(x)a或f(x)af(x)g(x)g(x)f(x)g(x)； f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)； ； axb(ba0)axb或bxa

f(x)

（8）

（9）2f(x)ag(x)f(x)[ag(x)]2a(a0)g(x)g(x)0g(x)0。|f(x)||g(x)||f(x)|2|g(x)|2[|f(x)||g(x)|]|f(x)g(x)|0

（10）对于形如

求解。

xaxbm等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义

[课后练习]

1、不等式

2、不等式x1(2x1)0x1(2x1)0的解集为。的解集为。

11|xm|＜1成立的充分非必要条件是32，6、已知不等式

则实数m的取值范围是。

7、不等式x2x

3x1m的解集是。的解集为R的充要条件是（）

8、关于x的不等式

A．m0B．m1C．m0D．m

19、不等式｜x-x-6｜>3-x的解集是()

A．(3,+∞)B．(-∞，-3)∪(3,+∞)

2C．(-∞，-3)∪(-1，+∞)D．(-∞,-3)∪(-1,3)∪(3,+∞)

10、解不等式

11、设函数|2x1||x4|x1。f(x)ax2，不等式|f(x)|6的解集为(1,2)，试求不等式

提高题x1f(x)的解集。

ab12、用>或｜b｜)。

；命题乙为两个实数a、b满足

13、已知h0，设命题甲为两个实数a、b满足ab2ha1h，且

b1h14、已知

15、已知

（1）求，那么甲是乙的条件。，a、bR，且a≠b，求证：f(x)x2f(a)f(b)ab． f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x，g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)g(x)|x1|。

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