05062线性代数试题A答案1_线性代数试卷a答案

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二、求矩阵5200210000850032的逆阵（10分）

解

设5A22 8B153------------2分

21则

1 8323----------6分 5212B15258A12125于是

5200210000850120010AA125003B1B0023200581-------10分

三、T设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3

T是它的三个解向量 且 1(2 3 4 5) 23(1 2 3 4)求该方程组的通解（12分）

解：由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量

且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得

21(23)(12)(13)(3 4 5 6)T

为其基础解系向量------10分

故此方程组的通解为：

xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T(kR)---------------------12分

四、TT已知R的两个基为

TTTT3a1(1 1 1) a2(1 0 1) a3(1 0 1)； b1(1 2 1) b2(2 3 4) b3(3 4 3) 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P（12分）解：设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则

1111-------111------4分(a1, a2, a3)(e1, e2, e3)100(e1, e2, e3)(a1, a2, a3)100111111于是

111123---------------------------10分 123-----------(b1, b2, b3)(e1, e2, e3)234(a1, a2, a3)1002341431111431由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为

111123234-----------------------12分

P100234010111143101

1五、设 x1x2x31问为何值时 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解?（15分）x1x2x32x1x2x3解

----------6分 111112rB11~ 011(1)11200(1)(2)(1)(1)2

(1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解.-----9分

(2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此2时 方程组无解--------------12分

(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故

(1)(2)0(1)(1)20

因此当1时 方程组有无穷多个解.-15分

六、（1）判定向量组(1 3 1)(2 1 0)(1 4 1)是线性相关

还是线性无关；（2）试用施密特法把向量组TTT111 正交化（16分）。(a1, a2, a3)124139解：(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121---------------------------6分

A314~077~011101022000

所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关----------------------------8分（2）根据施密特正交化方法

1--------

1-----------------------------8分 1-----------[b1,a3][b2,a3]1[b1,a2]b1a11babb2b2a2b1033121[b,b][b,b]31[b1,b1]11221

七、已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3 求A35A27A（10分）

解

令()3527-----2分 则(-1)-13 (2)2 (3)3是(A)的特征值--------6分 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)-1323-78------------------------------10分

求一个正交变换将二次型解

二次型的矩阵为f(x1,x2,x3)2x13x23x34x2x3化成标准形（15分）

222由 200--------------------2分 A032023 200AE032(2)(5)(1)023得A的特征值为12 25 31-------------------------5分

当12时, 解方程(A2E)x0 由



000012A2E012~001021000得特征向量(1 0 0)T 取p1(1 0 0)T------------------7分

当25时 解方程(A5E)x0 由

300100A5E022~011022000得特征向量(0 1 1)T 取



p2(0, 1, 1)T--------9分

22100100AE022~011022000

当31时 解方程(AE)x0 由

得特征向量(0 1 1)T 取------11分 p3(0, 1, 1)T22

于是有正交矩阵T(p1 p2 p3)和正交变换xTy 使 f2y125y22y32-----------15分

~线性代数试题1答案

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