分析法与综合法_什么是分析法和综合法

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分析法与综合法

一、分析法与综合法的定义

1、定义

所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法．

分析法的思维全貌可概括为下面形式：

“结论需知1需知2„已知”．

所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．

综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：

“已知可知1可知2„结论”．

二、例题赏析

例

1、已知：a，bR，且ab，求证：a3b3a2bab2．

证明一：（分析法）要证a3b3a2bab2，即证(ab)(a2abb2)ab(ab)，因为ab0，故只需证a2abb2ab，即证a2abb0，即证(ab)0，因为ab，所以(ab)0成立，所以ababab成立．

证明二：（综合法）由ab，知(ab)2222233220，即a2abb0，则aabbab．

222222332

2又ab0，则(ab)(aabb)ab(ab)，即ababab．

实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．

特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：

综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．

下面举一具体例子加以说明：

例

2、若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg

证明：要证lgablgbclgcaab2lgbc2lgca2lgalgblgc．

222abbccalg(abc)，只需证lg222lgalgblgc

abbccaabc． 222abbc≥ab0，≥

但是，2

2只需证

bc0，ca2≥ca0．

且上述三式中的等号不全成立，所以

因此lgab2lgbc2lgca2abbccaabc． 222lgalgblgc．

注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法． 例

3、例1 如图1，在四面体AVBC中，VAVBVC，AVBAVC60，BVC90，求证：平面VBC⊥平面ABC．

分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？ 我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC内作VD⊥BC，则VD⊥平面ABC，所以VD即为我们所要寻找的直线．

要证明VD⊥平面ABC，除了已知的VD⊥BC之外，还需要在平面ABC内找一条直线与VD垂直，哪一条呢？

假设已知知道VD⊥平面ABC，则VD与平面ABC内的任意直线均垂直，即必有VD⊥AB，VD⊥AC，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？

连结AD呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则必有VD⊥AD．通过计算可得到VDA90，原题得证． 证明：设BC的中点为D，连结VD，AD，因为VBVC，所以VD⊥BC； 设VAVBVC1，因为AVBAVC60，BVC90，22 所以ABAC1，BC2，VDAD，所以VDA90，即VD⊥AD，又已知ADBCD，所以VD⊥平面ABC，又VD平面VBC，所以平面VBC⊥平

面ABC．

例

4、如图2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，证明：平面A1BD∥平面CB1D1．

分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．

假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有A1B，A1D，BD均与平面CB1D1平行，选择任意两条均可，不妨选择A1B，A1D．

要想证明A1B，A1D与平面CB1D1平行，需在平面CB1D1内寻找两条直线分别与A1B，A1D平行，假设A1B，A1D与平面CB1D1平行已知，则根据线面平行的性质定理，过A1B的平面A1BCD1与平面CB1D1相交所得的交线CD1与A1B平行；过A1D的平面

A1DCB1与平面CB1D1相交所得的交线B1C与A1D平行．CD1，B1C即为所要寻找的直线．从而易知CD1，B1C分别与A1B，A1D平行，原题得证．

∥BC，即四边形ABCD为平行四证明：因为ABCDA1B1C1D1为长方体，所以有A1D1 11边形，从而有A1B∥CD1，又已知A1B平面CB1D1，CD1平面CB1D1，进而有A1B∥平面CB1D1；同理有A1D∥B1C，从而有A1D∥平面CB1D1；又已知A1BA1DA1，所以有平面A1BD∥平面CB1D1．

从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例

4、设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC的垂心H必在此双曲线上．

分析：如图1－1，设H的坐标为(x0，y0)，要证H在此双曲线上，即证x0y0=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1．

证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为，

设点H的坐标为(x0，y0)，则

由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得

化简可得x0y0(α-β)=α-β． ∵ α≠β，∴x0y0=1． 故H点必在双曲线xy=1上．

解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度． 练习：

1、设a,bR,a22b26,则ab的最小值是

（）

A．2

2B．53C．－3

D．722、．在△ABC中，sinAsinCＡ．锐角三角形

3．观察式子：1Ａ．1Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．1122，则△ABC一定是（）

Ｂ．直角三角形

Ｃ．钝角三角形

Ｄ．不确定

cosAcosC122321n，1121213253，112213214274，则可归纳出式子为（）

13222n112n12n1n2n2n1(n≥2)(n≥2)(n≥2)(n≥2)122213321nn21212121221321n2

4、已知实数a0，且函数f(x)a(x21)(2xa=__________。

1a)有最小值1，则

5、已知a,b是不相等的正数，x_________。

a2b,yab，则x,y的大小关系是

6、若正整数m满足10m1251210m，则m______________.(lg20.3010)

7、a,b,c∈R+，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a2b2c3.8、x,y,z,a均大于1，且logaxyz=9，求证：logxa+logya+logza≥1.9、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc.18．如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点． 求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MNCD．

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