综合法教学设计_综合法教案

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沧源民族中学

高二年级

数学选修1—2教学设计

2011.04.18

第十周第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明之综合法

主备教师：穆云映 课时计划：2节课

一、内容及其解析：

在以前的学习中，学生积累了较多的用综合法证明数学问题的经验，但是这些经验是零散的、不系统的，他们也没有进行过综合法中医知识的较系统的学习。由此教科书借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳和总结综合法的特点，促使他们形成对综合法的较完整的认识。

二、目标及其解析

教学目标：

结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法 目标解析：

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公里等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

三、问题诊断分析

作为我校高二年级的文科班的学生，多数学生基础较差，应以讲练结合的方法为主。

四、教学支持条件分析的叙述方法举例

在本节课综合法的教学中，准备使用多媒体教学。

五、教学过程：

问题：你能从我们学过的例题总结出什么叫做综合法吗？ 问题1：合情推理包括哪两种推理方法？

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。设计意图：让学生回忆上节课所学的知识点，巩固旧知识。问题2：数学中的两大证明方法是什么？

数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。设计意图：让学生了解数学中的两大证明方法。

本节课要学习的综合法就是直接证明中的其中一种。

问题3：我们已经学习过证明不等式的一种方法，是什么方法呢？

我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．

设计意图：让学生回忆起比较法这种基本的证明方法。例题：证明：x2＋2＞2x（x为实数）． 沧源民族中学

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2011.04.18

第十周证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

证法2：由（x-1）2≥0①，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x．②

问题4：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a∈R）．在证法上有区别吗？

设计意图：让学生发现两种证明方法的不同之处，为今天要学习的综合法做好铺垫。

问题5：以上两种所采用的方法各是什么？

设计意图：可能学生很快回答出来证法一是求差比较法，证法二是什么方法就无法马上回答出来了。这样一来就可以引入今天的课题。问题6：对于证法2，可以总结一下解题步骤吗？

设计意图：让学生通过观察，可以发现：证法2是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法． 框图表示

PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....Qn（2）综合法的应用

Q

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

问题7：看到这个问题，你的第一想法是什么？

设计意图：让学生明白若想定理帮忙，首先要看是否符合定理的条件．

变式训练：

证明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，则a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2． 沧源民族中学

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2011.04.18

第十周同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

例

2、已知：x,y,zR,a,b,cR求证:bcax2caby2abcz2(xyyzzx)2若不等式左边分解成bax2cax2cby2aby2acz2bcz2设计意图：应用不等式证明不等式问题 变式训练：

已知 a,b,cR求证：(abc)(1a1bc)4设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想

例

2、在ABC中，三个内角为a,b,c,且A,B,C成等差数列求证：ABC为等边三角形

设计意图：应用综合法证明三角问题

A,B,C对应的边分别,a,b,c成等比数列，沧源民族中学

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2011.04.18

第十周变式训练： ABC中，已知(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)求证：ABC为 等腰三角形或直角三角

六、本课小结

1、综合法证明是证明题中常用的方法。从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论。

2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来。

3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题

七、目标检测

1.若a>2,b>2,则ab与a+b的大小关系是ab()a+b A.= B.D.不能确定 2222形2.设ba0,则下列不等式中正确的是（）A.lgab0 B.baba C.1aa1a1b1a2a D.bab1a1

3.若a,b,cR,且a+b+c=1,那么1c有最小值()A.6 B.9 C.4 D.3

4.设a2,b73,c62,那么a,b,c的大小关系是（）

A.abc B.acb C.bac D.bca

5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是()A.xy2 B.2xyxy C.xy D.(2x111y)

八、配餐作业

A组题

6.已知两个变量x,y满足x+y=4,则使不等式x14ym恒成立的实数m的取值范围是________;沧源民族中学

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第十周7.已知 a,b为正数,且a+b=1则a2b2的最大值为_________;8.若a,b,cR,且a+b+c=1,则abc的最大值是__________;9.若xy+yz+zx=1,则x2y2z2与1的关系是__________;

B组题

10.若ab0,m

ab,nab,则m与n的大小关系是______.11.a、b、c、d是不全相等的正数,求证：(ab+cd)(ac+bd)>abcd

x2yxy212.设x>0,y>0,求证: 

1a)(b213.已知a,b R,且a+b=1,求证：(a14.设a,b,c是不全相等的正数, 求证：lgab2lgbc2lgac21b)2252

C组题

lgalgblgc.15.如果直角三角形的周长为2,则它的最大面积是多少?

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